لنقم بإعادة صياغة المسألة باللغة العربية:
لنعتبر $S = 1 – 2 + 3 – 4 + \cdots + 2009 – 2010$. ما هو باقي قيمة $S$ عند قسمتها على 2010؟
الحل:
لحل هذه المسألة، سنقوم بتجميع الأعداد بطريقة مختلفة لنرى النمط المتكرر. نبدأ بتجميع الأعداد بأزواج:
$S = (1 – 2) + (3 – 4) + \cdots + (2009 – 2010)$
نلاحظ أن كل زوج من الأعداد يؤدي إلى خسارة 1، إذا كان لدينا $1005$ زوج من الأعداد، فإن الناتج يكون $-1005$.
والآن نحتاج إلى معرفة باقي هذا العدد عندما يتم قسمه على 2010. لفعل ذلك، سنقوم بتمثيل 2010 بصورة عاملية أولية.
نعلم أن 2010 يمكن تمثيلها كـ $2 \times 5 \times 67$.
نحتاج الآن إلى معرفة باقي $-1005$ عندما يتم قسمه على هذه الأعداد الأولية.
- باقي $-1005$ عند القسمة على 2 هو صفر.
- باقي $-1005$ عند القسمة على 5 هو $0$.
- باقي $-1005$ عند القسمة على 67 هو $-9$.
الآن سنقوم بتجميع هذه الأرقام:
- الباقي عند القسمة على 2 هو صفر.
- الباقي عند القسمة على 5 هو صفر.
- الباقي عند القسمة على 67 هو $-9$.
بما أن الباقي عند القسمة على 67 هو $-9$، ولكننا نريد باقيًا إيجابيًا، فسنقوم بإضافة 67 إلى الباقي لنحصل على $67 – 9 = 58$.
إذاً، الباقي النهائي عندما نقسم $S$ على 2010 هو 58.
وهذا هو الحل للمسألة المعطاة.
المزيد من المعلومات
لحل مسألة جمع السلسلة الحسابية $S = 1 – 2 + 3 – 4 + \cdots + 2009 – 2010$ وحساب باقي قيمة $S$ عندما يتم قسمها على 2010، نستخدم القوانين الحسابية والخصائص العددية. الأساس هو فهم نمط التسلسل وكيفية تجميع الأعداد للوصول إلى الإجابة الصحيحة.
القوانين والخطوات المستخدمة في الحل تتضمن:
-
تمثيل السلسلة الحسابية: نمثل السلسلة الحسابية للأعداد المعطاة ونفهم النمط في التسلسل.
-
تجميع الأعداد بطريقة محكمة: نقوم بتجميع الأعداد بطريقة تكشف النمط المخفي في السلسلة.
-
استخدام العوامل الأولية للأعداد: نستخدم عوامل الأعداد الأولية لتسهيل الحسابات، خاصة عند العمل مع الأعداد الكبيرة.
-
حساب الباقي عند القسمة: نستخدم الخوارزميات لحساب الباقي عند القسمة على عدد معين.
-
التعامل مع الأعداد السالبة في الباقي: في حالة وجود أعداد سالبة في الباقي، نضطر إلى تعديلها لتكون إيجابية وذلك باستخدام الخوارزميات المناسبة.
بالتالي، من خلال تطبيق هذه القوانين والخطوات، نستطيع حساب الباقي بدقة وفهم العملية الحسابية التي أدت إلى الإجابة النهائية.