انعكاس النقاط في الإحداثيات: مثال عملي (مسألة رياضيات)

نعطي المعلومات التالية:

نحدد الموقع الجغرافي لنقاط البداية في المتسعدمة الأولى: $A(2,5)$, $B(4,9)$, $C(6,5)$, و $D(4,1)$.

نبدأ بانعكاس المتوازي المستطيل $ABCD$ عبر محور $x$ للحصول على المتوازي المستطيل $A’B’C’D’$.

للحصول على النقطة $D’$، نقوم بانعكاس نقطة $D$ عبر محور $x$، حيث يكون النقطة $D’$ بنفس المسافة ولكن بالاتجاه المعاكس. نلاحظ أن نقطة $D$ تكون $(4,1)$، لذا انعكاسها عبر محور $x$ يجعلها $(4,-1)$.

ثم، نقوم بانعكاس المتوازي المستطيل $A’B’C’D’$ عبر الخط $y=x+1$ للحصول على المتوازي المستطيل $A”B”C”D”$.

للحصول على النقطة $D”$، نحتاج إلى انعكاس نقطة $D’$ عبر الخط $y=x+1$. يمكننا القيام بذلك عن طريق حساب الميل العمودي للخط $y=x+1$ واستخدام الصيغة المناسبة للانعكاس.

ميل الخط $y=x+1$ يساوي 1، لأن المعامل الزائد لـ $x$ هو 1. لذا، الميل العمودي لهذا الخط هو -1.

لنحسب النقطة الانعكاسية لـ $D’$ عبر الخط $y=x+1$:

• يكون الميل العمودي للخط المنعكس $-1$، فنضرب الميل العمودي بـ -1 للحصول على المنعكس العمودي.
• نقوم بحساب النقطة الجديدة بواسطة استخدام المعادلة العامة للانعكاس حول مستقيم.
• بما أن النقطة $D’$ هي $(4,-1)$، فإن نقطة $D”$ ستكون على نفس المسافة ولكن بالاتجاه المعاكس. لذا، النقطة $D”$ ستكون $(3,0)$.

لذا، النقطة $D”$ في النظام الإحداثي هي $(3,0)$.

في هذه المسألة، نتعامل مع عدة مفاهيم هندسية ورياضية. سنقوم بتوضيح الخطوات بالتفصيل وذكر القوانين المستخدمة:

1. الانعكاس حول محور $x$:

   • قانون الانعكاس حول محور $x$ يقول إنه عند انعكاس نقطة $(x, y)$ حول محور $x$، فإن النقطة الجديدة ستكون $(x, -y)$.
   • في هذه المسألة، ننعكس نقطة $D$ حول محور $x$ للحصول على $D’$.

2. الانعكاس عبر الخط $y=x+1$:

   • للعثور على النقطة المنعكسة عبر الخط $y=x+1$، نحتاج إلى حساب الميل العمودي للخط المعكوس.
   • نقوم بحساب الميل العمودي للخط $y=x+1$، وهو $-1$.
   • بعد ذلك، نستخدم الصيغة العامة للانعكاس حول مستقيم لحساب النقطة المنعكسة.

3. المواقع الجغرافية والنقاط في الإحداثيات:

   • نقوم بتمثيل النقاط في المستوى الإحداثي، حيث النقاط تحدد بزوج من الإحداثيات $(x, y)$.

الآن، سنقوم بتطبيق هذه القوانين على المسألة:

أولاً، ننعكس نقطة $D$ حول محور $x$ للحصول على $D’$.

• $D(4,1)$ ننعكس لتكون $D'(4,-1)$.

ثانياً، نحتاج إلى انعكاس نقطة $D’$ عبر الخط $y=x+1$ للحصول على $D”$.

• الميل العمودي للخط $y=x+1$ هو $-1$.
• نستخدم الصيغة العامة للانعكاس حول مستقيم لحساب النقطة المنعكسة:
  • $(x”, y”) = \left(\frac{x’ + y’}{2}, \frac{y’ – x’}{2}\right)$
• بوضع قيم النقطة $D’$ في الصيغة:
  • $(x”, y”) = \left(\frac{4 + (-1)}{2}, \frac{(-1) – 4}{2}\right)$
  • $(x”, y”) = \left(\frac{3}{2}, \frac{-5}{2}\right)$
• نقوم بتبسيط الكسور:
  • $(x”, y”) = (1.5, -2.5)$

لذا، النقطة $D”$ في الإحداثيات هي $(1.5, -2.5)$.

تم استخدام القوانين المذكورة لتحديد موقع النقطة المنعكسة $D”$ بناءً على النقطة الأصلية $D$.