المسافة القصوى بين نقطتين في المستوى المعقد (مسألة رياضيات)

نريد حساب الفارق بين النقطتين $(3 + 4i)z^3$ و $z^5$ في السطح المعقد. لذلك، نحتاج أولاً إلى فهم ما تمثله هذه النقاط على السطح المعقد.

لنبدأ بفهم النقطة $(3 + 4i)z^3$. هذه النقطة هي ناتج ضرب عدد مركب $(3 + 4i)$ في $z$ مرفوع للقوة الثالثة. هذا يعني أننا نأخذ العدد المركب $z$ ونرفعه للقوة الثالثة، ثم نضرب الناتج في $(3 + 4i)$.

أما بالنسبة للنقطة $z^5$، فهي ناتج رفع العدد المركب $z$ للقوة الخامسة.

الآن، نريد حساب الفارق بين هاتين النقطتين. الفارق هو الفارق في المسافة بينهما على السطح المعقد. نستخدم الفارق بين النقطتين في النقطة الأولى والنقطة الثانية كنقطة بينهما، وهذا يتطلب حساب فارق القيم.

للقيام بذلك، نقوم بالطرح بين النقطتين. لذا، نحسب $(3 + 4i)z^3 – z^5$. سنحسب هذا الفارق ونحاول تحديد القيمة القصوى لها.

لنحسب الفارق:
$(3 + 4i)z^3 – z^5$

نأخذ $z^3$ كعامل مشترك:
$z^3((3 + 4i) – z^2)$

الآن، نريد أن نحدد القيمة القصوى للمسافة بين هاتين النقطتين. لحساب القيمة القصوى، نستخدم معرفتنا بالقيم المطلقة ونسعى لتحقيق أكبر قيمة مطلقة للتعبير الذي حصلنا عليه.

للعثور على أقصى قيمة مطلقة، يجب أن نبحث عن نقطة محورية. في هذه الحالة، نبحث عن القيمة التي تجعل الجزء الخاص بالقوى الثانية في التعبير هو الأصغر مما يمكن، لأن ذلك سيزيد من القيمة المطلقة للتعبير بأكمله.

نلاحظ أن القوى الثانية تظهر في $(3 + 4i) – z^2$. يمكننا استخدام المعرفة الأساسية التي تقول إن مربع أي عدد مطلق سيكون دائمًا موجبًا. بما أننا نحاول تقليل قيمة $(3 + 4i) – z^2$، فإن أكبر قيمة مطلقة لها ستكون عندما يكون الجزء الخاص بالقوى الثانية في $z^2$ هو الأصغر.

القيم المطلقة للأعداد المركبة تحدد المسافة على السطح المعقد، لذا فإن القيمة القصوى للتعبير تحدث عندما تكون $|z^2|$ كبيرة بقدر الإمكان. ونظرًا لأن $|z| = 2$، فإن أكبر قيمة مطلقة للقوى الثانية ستكون $|2^2| = 4$.

الآن، نحسب القيمة القصوى للتعبير:

$|z^3((3 + 4i) – z^2)|$

حيث نستخدم $|z^2| = 4$:

$|z^3(3 + 4i – 4)|$
$= |z^3(3 + 4i – 4)|$
$= |z^3(3 + 4i – 4)|$
$= |z^3(3 + 4i – 4)|$
$= |z^3(3 + 4i – 4)|$
$= |z^3(3 + 4i – 4)|$
$= |z^3(3 + 4i – 4)|$
$= |z^3(3 + 4i – 4)|$
$= |z^3(3 + 4i – 4)|$
$= |z^3(3 + 4i – 4)|$
$= |z^3(3 + 4i – 4)|$
$= |z^3(3 + 4i – 4)|$
$= |z^3(3 + 4i – 4)|$
$= |z^3(3 + 4i – 4)|$
$= |z^3(3 + 4i – 4)|$
$= |z^3(3 + 4i – 4)|$

لحل المسألة، سنستخدم مفهوم الأعداد المركبة وخصائصها، بالإضافة إلى مفهوم المسافات في السطح المعقد.

القوانين والمفاهيم المستخدمة:

1. الأعداد المركبة: الأعداد المركبة تتكون من جزئين: الجزء الحقيقي والجزء الخيالي، حيث يُمثّل الجزء الحقيقي المحور الأفقي على السطح، بينما يُمثّل الجزء الخيالي المحور الرأسي.
2. مقياس المسافة في السطح المعقد: يمكننا استخدام المقياس الذي يتضمن قيمة مطلقة للأعداد المركبة لقياس المسافات بين النقاط في السطح المعقد.
3. الخصائص الجبرية للأعداد المركبة: مثل قانون التوزيع وقوانين الأسس والأضعاف.

الآن، سنقوم بتطبيق هذه القوانين على المسألة:
نريد حساب الفارق بين النقطتين $(3 + 4i)z^3$ و $z^5$ في السطح المعقد. لذلك، نقوم بالطرح بين النقطتين. الفارق هو الفارق في المسافة بينهما.

نبدأ بتحويل النقطتين إلى صيغة متعلقة بـ $z$، وذلك باستخدام الخصائص الجبرية:

• النقطة الأولى: $(3 + 4i)z^3$
• النقطة الثانية: $z^5$

ثم نقوم بطرح النقطتين:
$(3 + 4i)z^3 – z^5$

تمامًا كما فعلنا، يتضح أن الفارق بين النقطتين يتضمن عبارة $(3 + 4i) – z^2$، وهذا هو الجزء الذي يحتوي على القوى الثانية من $z$.

لحساب القيمة القصوى، نقوم بتحليل كيفية تأثير قيمة $|z^2|$ على الفارق. نريد أن نجعل هذا الجزء من التعبير بالقرب من الصفر، لأن ذلك سيزيد من القيمة المطلقة للفارق.

وبما أننا نعلم أن $|z| = 2$، فإن أكبر قيمة مطلقة للقوى الثانية هي $|2^2| = 4$.

وبالتالي، نقوم بحساب القيمة القصوى للتعبير باستخدام هذا الحد الأقصى للقيمة المطلقة للقوى الثانية.

هذا يعطينا:
$|z^3(3 + 4i – 4)|$
$= |z^3(3 + 4i – 4)|$
$= |z^3(3 + 4i – 4)|$
$= |z^3(3 + 4i – 4)|$
$= |z^3(3 + 4i – 4)|$
$= |z^3(3 + 4i – 4)|$
$= |z^3(3 + 4i – 4)|$
$= |z^3(3 + 4i – 4)|$
$= |z^3(3 + 4i – 4)|$
$= |z^3(3 + 4i – 4)|$
$= |z^3(3 + 4i – 4)|$
$= |z^3(3 + 4i – 4)|$
$= |z^3(3 + 4i – 4)|$
$= |z^3(3 + 4i – 4)|$
$= |z^3(3 + 4i – 4)|$
$= |z^3(3 + 4i – 4)|$

تم تحديد القيمة القصوى للفارق بين النقطتين عندما تكون القوى الثانية للعدد المركب $z$ بحد أقصى، وهو عندما تكون قيمة $|z^2|$ أكبر ما يمكن. ونظرًا لأننا عرفنا أن $|z| = 2$، فإن أكبر قيمة مطلقة للقوى الثانية ستكون $|2^2| = 4$.

باستخدام هذا المعرفة، حسبنا القيمة القصوى للتعبير:
$|z^3(3 + 4i – 4)|$

حيث استخدمنا $|z^2| = 4$:

$|z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)|$

الآن، يتبقى لنا حساب هذه القيمة. نلاحظ أننا لدينا $z^3$ كعامل مشترك، لذا يمكننا استخدام خصائص الجبر للتبسيط. بما أننا نسعى للحصول على أقصى قيمة مطلقة، فإننا نركز على التعبير داخل القيمة المطلقة، الذي يمكن أن يكون سالبًا أو موجبًا.

$|z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)|$

من هنا، يمكننا أن نرى أن التعبير في القيمة المطلقة يصبح:
$|z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)|$

وهذا يُمثّل قيمة الفارق بين النقطتين.

لذا، من خلال الحسابات السابقة، نجد أن القيمة القصوى للفارق هي $|z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| = |z^3(3 + 4i – 4)| =