المتوسط والوسيط: حل الأسئلة (مسألة رياضيات)

مجموعة من ثلاثة أرقام لديها كل من المتوسط والوسيط متساويان ويساويان X. إذا كانت أصغر الأرقام في المجموعة هي 1، ما هو نطاق مجموعة الأرقام؟ إذا كنا نعلم أن الإجابة على السؤال أعلاه هي 6، ما هي قيمة المتغير الغير معروف X؟

لنحل المسألة:

لدينا ثلاثة أرقام في المجموعة. الأصغر منها هو 1. الوسيط هو الرقم في الوسط إذا تم ترتيب الأرقام بشكل تصاعدي، والمتوسط هو مجموع الأرقام مقسوما على عددها.

لو نعتبر أن الأرقام في الترتيب من الأصغر إلى الأكبر هي 1، X، Y، فإننا نعرف ما يلي:

1. الوسيط يساوي X.
2. المتوسط يساوي (1 + X + Y) / 3.

ومن المعروف أن المتوسط يساوي الوسيط في هذه المجموعة، لذلك يمكننا كتابة المعادلة:

(1 + X + Y) / 3 = X

لحل هذه المعادلة وإيجاد قيمة Y، يجب أن نقوم بتبسيط المعادلة:

1 + X + Y = 3X

ثم نحل لـ Y:

Y = 3X – 1 – X
Y = 2X – 1

الآن بعد أن عرفنا قيمة Y، يمكننا حساب المجموعة بالكامل. المتوسط (X) هو القيمة الوسطية، والوسيط هو الرقم الوسطي (X) أيضًا. بالتالي، يجب أن يكون X هو الرقم الوسطي بين 1 و (2X – 1).

هذا يعني أنه عندما نرتب الأرقام بشكل تصاعدي، يجب أن تكون القائمة كالتالي: 1، X، 2X – 1.

نطرح أقصى قيمة من أقل قيمة للحصول على النطاق:

القيمة الأكبر – القيمة الأصغر = (2X – 1) – 1 = 2X – 2 – 1 = 2X – 3

وبما أن هذا النطاق يساوي 6، يمكننا حل المعادلة:

2X – 3 = 6

نضيف 3 للجانبين:

2X = 6 + 3
2X = 9

ثم نقسم على 2:

X = 9 / 2
X = 4.5

إذاً، القيمة المجهولة X هي 4.5.

لحل المسألة المعطاة، نحتاج إلى استخدام عدة مفاهيم رياضية وقوانين، من بينها:

1. مفهوم المتوسط (Mean): المتوسط هو مجموع القيم الموجودة في مجموعة من الأرقام مقسومة على عددها. في حالتنا، المتوسط يمثله الرقم X.

2. مفهوم الوسيط (Median): الوسيط هو القيمة الوسطية عند ترتيب الأرقام بشكل تصاعدي أو تنازلي. في حالتنا، الوسيط يمثله الرقم X أيضًا.

3. قانون الوسيط في مجموعة من الأرقام: في حالة وجود عدد زوجي من الأرقام، الوسيط هو متوسط القيمتين المركزيتين. في حالة وجود عدد فردي من الأرقام، الوسيط هو القيمة الموجودة في الوسط.

4. قانون حساب المتوسط: المتوسط يُحسب بجمع جميع القيم وتقسيم الناتج على عددها.

5. قانون حساب النطاق (Range): النطاق هو الفرق بين أكبر وأصغر قيمة في مجموعة من الأرقام.

بناءً على هذه المفاهيم والقوانين، نبدأ بوضع المعادلات:

لدينا متوسط X وأصغر عدد في المجموعة هو 1. لذا، نعرف أننا بحاجة إلى إيجاد قيمة العدد الثالث Y.

معادلتنا الأولى:
$\frac{{1 + X + Y}}{3} = X$
هذه المعادلة تأتي من أن المتوسط هو X.

نقوم بتبسيطها للعثور على قيمة Y:
$1 + X + Y = 3X$
$Y = 3X – 1 – X$
$Y = 2X – 1$

الآن، عندما نعرف Y، يمكننا بناء المجموعة. الأرقام ستكون: 1، X، و Y (الذي هو 2X – 1).

بعد ذلك، نحسب النطاق (Range)، وهو الفرق بين أكبر وأصغر قيمة في المجموعة. يمكننا حساب النطاق بالطريقة التالية:
$(2X – 1) – 1 = 2X – 2 – 1 = 2X – 3$

ووفقًا للسؤال، النطاق يساوي 6. لذا:
$2X – 3 = 6$
$2X = 6 + 3$
$2X = 9$
$X = \frac{9}{2}$
$X = 4.5$

لذا، قيمة المتغير X هي 4.5.