الكتّاب السريع والبطيء: تحديد الزمن الإجمالي (مسألة رياضيات)

عندما يقوم كاتب سريع بكتابة مادة ما في 4 ساعات، وكاتب آخر بطيء بكتابة نفس المادة في 6 ساعات، يرغب المطلوب في معرفة الوقت الذي سيحتاجه الاثنان معًا لإكمال العمل. لحل هذه المسألة الحسابية، يمكننا استخدام مفهوم “معدل الأداء” لكل من الكتّاب.

لنمثل معدل أداء الكاتب السريع بـ $X$ ومعدل أداء الكاتب البطيء بـ $Y$. المعادلة الرياضية لمعدل الأداء هي:

$معدل\ الأداء = \frac{العمل\ المنجز}{الزمن}$

بما أن الكتاب السريع يكمل العمل في 4 ساعات، إذًا:

$X = \frac{العمل}{4}$

والكاتب البطيء يكمل العمل في 6 ساعات:

$Y = \frac{العمل}{6}$

عندما يعملان معًا، يتم دمج معدلي الأداء بالجمع، لأنهما يساهمان في إكمال نفس العمل. إذاً:

$X + Y = \frac{العمل}{4} + \frac{العمل}{6}$

لحساب المعادلة بشكل أكثر فعالية، يمكننا استخدام الحاصل الرئيسي المشترك بين المقامين، الذي هو 12:

$X + Y = \frac{3العمل}{12} + \frac{2العمل}{12}$

$X + Y = \frac{5العمل}{12}$

الآن يمكننا حساب معدل الأداء الإجمالي للكاتبين معًا. عندما يعملان معًا، يستغرقون $\frac{12}{5}$ ساعة لإكمال العمل. لذا، إجابة المسألة هي:

$الزمن\ الإجمالي = \frac{12}{5}$ ساعة

لحل هذه المسألة الرياضية، سنستخدم مبدأ العمل ومعدل الأداء. سنعتمد على القوانين التي تحدد كيفية حساب معدل الأداء وكيفية استخدامه لحل مشكلة العمل المشترك.

1. معدل الأداء:
   يتم حساب معدل الأداء بالطريقة التالية:
   $معدل\ الأداء = \frac{العمل\ المنجز}{الزمن}$

   في حالة الكاتب السريع، يكون معدل أداءه $X$، حيث:
   $X = \frac{العمل}{4}$

   وفي حالة الكاتب البطيء، يكون معدل أداءه $Y$، حيث:
   $Y = \frac{العمل}{6}$

2. العمل المشترك:
   عندما يعملان معًا، يجب أن نحسب العمل الذي يقومان به معًا. يتم ذلك بجمع معدلي الأداء للكتابين:
   $X + Y = \frac{العمل}{4} + \frac{العمل}{6}$

   لتسهيل الحساب، نجمع المقامين باستخدام الحاصل الرئيسي المشترك، وهو 12:
   $X + Y = \frac{3العمل}{12} + \frac{2العمل}{12}$

   الناتج يكون:
   $X + Y = \frac{5العمل}{12}$

3. حساب الزمن الإجمالي:
   عندما يعملان معًا، يتم حساب الزمن الإجمالي الذي يحتاجانه لإكمال العمل. يتم ذلك بقسمة العمل على معدل الأداء الإجمالي:
   $الزمن\ الإجمالي = \frac{12}{5}$ ساعة

باستخدام هذه القوانين، تمكنا من حساب الزمن الإجمالي الذي يحتاجه الكتابين لإكمال العمل عندما يعملان معًا.