القيمة المجهولة في المعادلات الخطية (مسألة رياضيات)

إذا اشترت جانيس 30 عنصرًا، كل منها بسعر X سنتًا أو 2 دولارًا أو 3 دولارات، وكان إجمالي سعر مشترياتها 30 دولارًا، فكم عدد العناصر التي اشترتها بسعر 30 سنتًا؟ إذا كان الجواب على السؤال السابق 20، فما هو قيمة المتغير X غير المعروف؟

لنقم بتحليل المسألة:

لنفترض أن عدد العناصر التي اشترتها جانيس بسعر X سنتًا هو $y$.

بما أن عدد العناصر الكلي هو 30، فإذا كان لدينا $y$ عنصر بسعر X سنتًا، فسيكون لدينا $30 – y$ عنصر بسعر 2 دولار أو 3 دولارات.

بالنسبة للقيم، لدينا:

1. عدد العناصر بسعر X سنتًا: $y$ عنصر.
2. عدد العناصر بسعر 2 دولار: $z$ عنصر.
3. عدد العناصر بسعر 3 دولارات: $30 – y – z$ عنصر.

المعادلة الأولى تمثل القيمة الإجمالية للعناصر بسعر X سنتًا:
$0.01xy$

المعادلة الثانية تمثل القيمة الإجمالية للعناصر بسعر 2 دولار:
$2z$

المعادلة الثالثة تمثل القيمة الإجمالية للعناصر بسعر 3 دولارات:
$3(30 – y – z)$

وفقًا للشروط المعطاة في المسألة، يكون إجمالي القيم مساويًا لـ $30.00:
$0.01xy + 2z + 3(30 – y – z) = 30$

الآن، لدينا معادلة واحدة بمتغيرين $y$ و $z$، ونحتاج إلى حلها للعثور على قيمة X.

أولًا، لنستبدل القيم المعروفة من المسألة:

$0.01xy + 2z + 90 – 3y – 3z = 30$

الآن، لنقم بترتيب المعادلة وجمع المصطلحات المماثلة:

$0.01xy – 3y – z = -60$

الآن، بالنظر إلى القيم المعطاة في السؤال، نعلم أن العدد الإجمالي للعناصر التي اشترتها جانيس هو 20، بما في ذلك تلك التي كانت بسعر 30 سنتًا، أي $y = 20$.

نقوم بتعويض قيمة $y$ في المعادلة:

$0.01(20)X – 3(20) – z = -60$
$0.2X – 60 – z = -60$
$0.2X – z = 0$
$z = 0.2X$

من المعطيات في السؤال، نعلم أنه تم شراء 30 عنصرًا بما في ذلك 20 عنصرًا بسعر 30 سنتًا، وبالتالي يجب أن تكون باقي العناصر (30 – 20 = 10 عناصر) بسعر 2 دولار أو 3 دولارات.

ومن الجزء السابق من الحل، نعرف أن العدد الإجمالي من العناصر بسعر 2 دولار هو $z$، ومن المعطيات في السؤال يبدو أن عدد العناصر بسعر 2 دولار يساوي 0. بالتالي:

$z = 0$

وبما أن $z = 0.2X$، فإن:

$0.2X = 0$
$X = 0$

لذلك، القيمة غير المعروفة X تساوي صفر.

لحل المسألة التي تتعلق بعدد العناصر التي اشترتها جانيس، وتحديد قيمة المتغير X، نستخدم القوانين الأساسية للجبر والعمليات الحسابية، وهي:

1. قانون التوزيع: يسمح لنا بتوزيع العوامل داخل الأقواس أو الضرب في حالات مختلفة.
2. قوانين الجمع والطرح: نستخدمها لجمع وطرح الأعداد.
3. المعادلات الخطية: نستخدمها لحل المعادلات التي تحتوي على متغيرات في قوى أولى.

الآن، دعونا نحل المسألة بالتفصيل:

نعرف أن جانيس اشترت 30 عنصرًا، وكانت أسعارها إما X سنتًا أو 2 دولارًا أو 3 دولارات. لدينا العديد من العوامل التي يجب مراعاتها:

لنفترض أن عدد العناصر التي اشترتها جانيس بسعر X سنتًا هو $y$، وعدد العناصر التي اشترتها بسعر 2 دولار هو $z$، وبما أن عدد العناصر الكلي هو 30، فإن عدد العناصر بسعر 3 دولارات يكون $30 – y – z$.

الآن، بناءً على المسألة، يجب أن تكون قيمة العناصر المشتراة بسعر 30 سنتًا تساوي 20. لذلك:

$y = 20$

نريد العثور على القيمة المناسبة لـ X. لنقم بإعداد المعادلة التي تمثل القيم الإجمالية للمشتريات:

$0.01xy + 2z + 3(30 – y – z) = 30$

نواجه معادلة خطية مع مجهولين $y$ و $z$، لكن لدينا معادلة ثانية وهي $y = 20$.

نقوم بتعويض قيمة $y$ في المعادلة:

$0.01(20)X – 3(20) – z = -60$
$0.2X – 60 – z = -60$
$0.2X – z = 0$
$z = 0.2X$

ونعلم من المعطيات في السؤال أن عدد العناصر التي اشترتها بسعر 2 دولار يساوي 0. بالتالي:

$z = 0$

ومن $z = 0.2X$، فإن:

$0.2X = 0$
$X = 0$

لذلك، القيمة غير المعروفة X تساوي صفر.

لذلك، بالاستناد إلى الحل المقدم، يمكننا الاستنتاج بأن جانيس لم تشترِ أي عناصر بسعر X سنتًا، وبالتالي قيمة X لا تأخذ قيمة وتساوي صفر.