مسائل رياضيات

القيمة المتوقعة للربح في رمية عملة (مسألة رياضيات)

نقوم بتحديد قيمة المتغير المجهول X بالتالي:

القيمة المتوقعة للربح = (احتمال الفوز برأس) × (المبلغ المكسب في حالة الرأس) + (احتمال الفوز بختم) × (المبلغ المكسب في حالة الختم)

= (1/3) × $3 + (2/3) × X

= $1 – (2/3)X

معروف أن القيمة المتوقعة للربح تساوي -1/3، لذا:

$1 – (2/3)X = -1/3

نقوم بحساب قيمة X كالتالي:

$1 – (2/3)X = -1/3

(2/3)X = $1 + 1/3

(2/3)X = $4/3

X = ($4/3) × (3/2)

X = $2

لذا، قيمة المتغير المجهول X هي $2.

المزيد من المعلومات

لحل المسألة، سنستخدم مفهوم القيمة المتوقعة وقوانين الاحتمالات.

أولاً، لنعرف بعض القوانين والمفاهيم المستخدمة في الحل:

  1. قيمة متوسطة أو متوسط القيمة (Expected Value): هو القيمة التي نتوقع أن نحصل عليها في المتوسط ​​عند تكرار عملية عدة مرات. يُمثل القيمة المتوقعة في هذه الحالة المبلغ المتوقع للربح أو الخسارة.

  2. قانون الإحتمالات: يحدد كيفية حساب الاحتمالات لحدث معين.

الآن، لنقم بحساب القيمة المتوقعة للربح بعد رمي عملة واحدة:

لدينا احتمالية $\frac{1}{3}$ للفوز برأس واحدة واحتمالية $\frac{2}{3}$ للفوز بختم واحد.

للحساب، نضرب كل قيمة بالاحتمالية المقابلة ونجمع الناتجين:

قيمة متوقعة للربح = (احتمال الرأس) × (المبلغ المكسب من رمي رأس) + (احتمال الختم) × (المبلغ المكسب من رمي ختم)

= $\frac{1}{3} \times 3 + \frac{2}{3} \times X$

= $1 – \frac{2}{3}X$

وفقًا للمعطيات، القيمة المتوقعة للربح هي $-\frac{1}{3}$، لذا:

$1 – \frac{2}{3}X = -\frac{1}{3}$

لحساب قيمة المجهول X، نقوم بحل المعادلة كما يلي:

$1 – \frac{2}{3}X = -\frac{1}{3}$

نطرح 1 من الجانبين:

$-\frac{2}{3}X = -\frac{1}{3} – 1$

$-\frac{2}{3}X = -\frac{4}{3}$

ثم نقوم بقسمة الجانبين على $-\frac{2}{3}$:

$X = \frac{-\frac{4}{3}}{-\frac{2}{3}}$

$X = \frac{-\frac{4}{3} \times -\frac{3}{2}}{-\frac{2}{3} \times -\frac{3}{2}}$

$X = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{2}{2}}$

$X = \frac{4}{2}$

$X = 2$

إذاً، قيمة المتغير المجهول X هي $2$ دولار.