نقوم بتحديد قيمة المتغير المجهول X بالتالي:
القيمة المتوقعة للربح = (احتمال الفوز برأس) × (المبلغ المكسب في حالة الرأس) + (احتمال الفوز بختم) × (المبلغ المكسب في حالة الختم)
= (1/3) × $3 + (2/3) × X
= $1 – (2/3)X
معروف أن القيمة المتوقعة للربح تساوي -1/3، لذا:
$1 – (2/3)X = -1/3
نقوم بحساب قيمة X كالتالي:
$1 – (2/3)X = -1/3
(2/3)X = $1 + 1/3
(2/3)X = $4/3
X = ($4/3) × (3/2)
X = $2
لذا، قيمة المتغير المجهول X هي $2.
المزيد من المعلومات
لحل المسألة، سنستخدم مفهوم القيمة المتوقعة وقوانين الاحتمالات.
أولاً، لنعرف بعض القوانين والمفاهيم المستخدمة في الحل:
-
قيمة متوسطة أو متوسط القيمة (Expected Value): هو القيمة التي نتوقع أن نحصل عليها في المتوسط عند تكرار عملية عدة مرات. يُمثل القيمة المتوقعة في هذه الحالة المبلغ المتوقع للربح أو الخسارة.
-
قانون الإحتمالات: يحدد كيفية حساب الاحتمالات لحدث معين.
الآن، لنقم بحساب القيمة المتوقعة للربح بعد رمي عملة واحدة:
لدينا احتمالية $\frac{1}{3}$ للفوز برأس واحدة واحتمالية $\frac{2}{3}$ للفوز بختم واحد.
للحساب، نضرب كل قيمة بالاحتمالية المقابلة ونجمع الناتجين:
قيمة متوقعة للربح = (احتمال الرأس) × (المبلغ المكسب من رمي رأس) + (احتمال الختم) × (المبلغ المكسب من رمي ختم)
= $\frac{1}{3} \times 3 + \frac{2}{3} \times X$
= $1 – \frac{2}{3}X$
وفقًا للمعطيات، القيمة المتوقعة للربح هي $-\frac{1}{3}$، لذا:
$1 – \frac{2}{3}X = -\frac{1}{3}$
لحساب قيمة المجهول X، نقوم بحل المعادلة كما يلي:
$1 – \frac{2}{3}X = -\frac{1}{3}$
نطرح 1 من الجانبين:
$-\frac{2}{3}X = -\frac{1}{3} – 1$
$-\frac{2}{3}X = -\frac{4}{3}$
ثم نقوم بقسمة الجانبين على $-\frac{2}{3}$:
$X = \frac{-\frac{4}{3}}{-\frac{2}{3}}$
$X = \frac{-\frac{4}{3} \times -\frac{3}{2}}{-\frac{2}{3} \times -\frac{3}{2}}$
$X = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{2}{2}}$
$X = \frac{4}{2}$
$X = 2$
إذاً، قيمة المتغير المجهول X هي $2$ دولار.