القيمة القصوى لـ x y xy x y في مسألة الرياضيات (مسألة رياضيات)

نُعطى أنّ $x$ و $y$ هما أعداد حقيقية موجبة ويُرضيان المعادلة $4x + 9y = 60$. نحتاج إلى حساب القيمة القصوى للمتغير $xy$.

لنبدأ بتحويل المعادلة $4x + 9y = 60$ إلى صيغة تعبيرية لإحدى المتغيرات. نلاحظ أنه من الممكن حل المعادلة لتعبير $y$ بالنسبة لـ $x$، حيث:

$y = \frac{60 – 4x}{9}$

الآن، سنقوم بتعويض هذا التعبير في تعبير $xy$ لنحصل على تعبير يتضمن فقط المتغير $x$، ومن ثم سنبحث عن أقصى قيمة لهذا التعبير.

$xy = x \cdot \frac{60 – 4x}{9} = \frac{60x – 4x^2}{9}$

لنقم بتفريق هذا التعبير باستخدام الجبر، ولنجد مقدار $x$ الذي يجعل التعبير يبلغ قيمته القصوى. لهذا الغرض، سنستخدم تقنية التفريق والتوجيه:

$\frac{d(xy)}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{60x – 4x^2}{9} \right)$

بعد الحساب، سيكون لدينا:

$\frac{d(xy)}{dx} = \frac{60 – 8x}{9}$

ثم، نُعادل هذا التفريق إلى الصفر للعثور على النقاط المحتملة للقيمة القصوى:

$\frac{60 – 8x}{9} = 0$

من هنا، نحصل على $x = \frac{60}{8} = 7.5$.

الآن، لنتحقق مما إذا كانت هذه النقطة نقطة قصوى فعلية. يتم ذلك عن طريق فحص النقطة الناتجة من التفريق الثاني للتعبير، ونتأكد مما إذا كانت إيجابية أو سالبة.

$\frac{d^2(xy)}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{60 – 8x}{9} \right) = -\frac{8}{9}$

واضح أن النتيجة سالبة، وهذا يعني أن القيمة $x = 7.5$ تمثل نقطة قصوى فعلية.

الآن، لنحسب قيمة $y$ المقابلة لهذه القيمة من المعادلة الأصلية:

$y = \frac{60 – 4(7.5)}{9} = \frac{60 – 30}{9} = \frac{30}{9} = \frac{10}{3}$

بالتالي، القيمة القصوى للمتغير $xy$ تكون عند $x = 7.5$ و $y = \frac{10}{3}$.

$xy_{\text{max}} = 7.5 \times \frac{10}{3} = 25$

إذاً، القيمة القصوى لـ $xy$ هي 25.

لحل المسألة وايجاد القيمة القصوى لـ $xy$، سنستخدم مفهوم الدوال والتفاضل. هنا هي الخطوات بالتفصيل مع ذكر القوانين المستخدمة:

1. تحديد المعطيات: نعرف أن $x$ و $y$ هما أعداد حقيقية موجبة ويُرضيان المعادلة $4x + 9y = 60$.

2. تعبير $xy$: يُطلق علينا تعبير $xy$ وهو المتغير الذي نريد أن نجد له القيمة القصوى.

3. إيجاد تعبير لـ $y$ بالنسبة لـ $x$: نستخدم المعادلة المعطاة $4x + 9y = 60$ لحل $y$ بالنسبة لـ $x$. من هنا، نحصل على $y = \frac{60 – 4x}{9}$.

4. وضع $y$ في صورة $xy$: نستخدم تعبير $y$ الذي حصلنا عليه ونقوم بوضعه في صورة $xy$، حيث $xy = x \cdot \frac{60 – 4x}{9}$.

5. تفريق $xy$ والعثور على القيمة القصوى: نستخدم قوانين التفاضل للبحث عن القيمة القصوى لـ $xy$. نبدأ بحساب المشتقة الأولى $\frac{d(xy)}{dx}$ ونضعها تساوي صفر للعثور على النقط المحتملة للقيمة القصوى.

6. التحقق من القيمة القصوى: نستخدم المشتقة الثانية $\frac{d^2(xy)}{dx^2}$ للتحقق من ما إذا كانت النقطة المحسوبة فعلاً نقطة قصوى.

7. حساب قيمة $y$ المقابلة للقيمة القصوى لـ $x$: بعد حساب قيمة $x$ التي تعطي القيمة القصوى لـ $xy$، نستخدم المعادلة الأصلية لحساب قيمة $y$ المقابلة.

8. حساب $xy_{\text{max}}$: بعد حساب قيمتي $x$ و $y$ التي تعطيان القيمة القصوى لـ $xy$، نقوم بضربهما معا للحصول على $xy_{\text{max}}$.

القوانين المستخدمة هي:

• قانون التفاضل والتكامل: يُستخدم لحساب مشتقات الدوال.
• قاعدة الضرب للتفاضل: تُستخدم لحساب تفاضل الدوال المنتجة.
• استخدام مشتقة الدرجة الثانية للتحقق من نوع النقطة: نستخدمها للتأكد ما إذا كانت النقطة المحسوبة هي نقطة قصوى أو لا.

هذه الخطوات تؤدي إلى إيجاد القيمة القصوى لـ $xy$ بالنسبة للمتغيرات $x$ و $y$.