القطعة النقدية: توقعات الربح والخسارة (مسألة رياضيات)

القطعة النقدية غير العادلة تقع على الوجوه بفرصة $\frac34$ للوجه السفلي وبفرصة $\frac14$ للوجه العلوي. يحقق رمي الوجه العلوي ربحًا بقيمة 3 دولارات، بينما يخسر رمي الوجه السفلي 8 دولارات. ما هو المتوقع لقيمة القطعة النقدية؟

لحساب المتوقع، يمكننا استخدام الصيغة التالية:

$\text{المتوقع} = (\text{قيمة الوجه العلوي} \times \text{احتمال الوجه العلوي}) + (\text{قيمة الوجه السفلي} \times \text{احتمال الوجه السفلي})$

حيث أن قيمة الوجه العلوي تكون 3 دولارات، واحتمال الوجه العلوي هو $\frac34$. أما قيمة الوجه السفلي فتكون -8 دولارات (نظراً للخسارة)، واحتمال الوجه السفلي هو $\frac14$.

$\text{المتوقع} = (3 \times \frac34) + (-8 \times \frac14)$

قم بحساب هذه القيم للحصول على المتوقع النهائي.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم المتوقع (المتوسط) الذي يعبر عن القيمة المتوقعة لتجربة عشوائية. سنقوم بحساب المتوقع باستخدام القوانين الأساسية للمتوقع:

1. قانون الجمع والطرح:
   إذا كان لدينا أحداث متعددة، يمكننا جمع أو طرح المتوقعات لكل حدث.

2. قانون الضرب بعامل:
   إذا كان لدينا عدد ثابت يتعلق بالحدث (مثل قيمة رمي القطعة النقدية)، يمكننا ضرب هذا العدد في المتوقع للحصول على المتوقع النهائي.

لنقم بتطبيق هذه القوانين على المسألة:

لنمثل الوجه العلوي بـ $H$ والوجه السفلي بـ $T$. قيمة الوجه العلوي هي 3 دولارات ($V_H = 3$)، وقيمة الوجه السفلي هي -8 دولارات ($V_T = -8$).

الآن سنحسب المتوقع:

$\text{المتوقع} = (V_H \times P_H) + (V_T \times P_T)$

حيث أن:

• $P_H$ هو احتمال رمي الوجه العلوي (احتمال النجاح) ويساوي $\frac34$.
• $P_T$ هو احتمال رمي الوجه السفلي (احتمال الفشل) ويساوي $\frac14$.

وبالتالي:

$\text{المتوقع} = (3 \times \frac34) + (-8 \times \frac14)$

قم بحساب هذه القيم للحصول على المتوقع النهائي. بمجرد أن تقوم بالحسابات، ستحصل على قيمة معينة تعبر عن المتوقع النهائي لرمي القطعة النقدية.