القرد يتسلق العمود: حل اللغز

القرد يصعد عمودًا مشتَّت الدهن بارتفاع 10 أمتار. في الدقيقة الأولى، يصعد 2 أمتار، ثم ينزلق لأسفل 1 متر في الدقيقة التالية. إذا استمر هذا النمط حتى يصعد القرد العمود، ففي كم دقيقة سيصل إلى أعلى العمود؟

لفهم الحل، دعونا نعتبر عدد الدورات التي يكملها القرد. في كل دورة، يتقدم القرد صعودًا بمقدار 2 أمتار وينزلق لأسفل بمقدار 1 متر، لذا ينتقل بشكل فعَّال نحو 1 متر في كل دورة. الارتفاع الإجمالي الذي يتقدم فيه القرد يتمثل في الفارق بين الصعود والانزلاق، أي 2 – 1 = 1 متر في كل دورة.

للوصول إلى ارتفاع الـ 10 أمتار، يحتاج القرد إلى القيام بـ 10 دورات، لأن 10 متر / 1 متر في الدورة = 10 دورات.

وبما أن كل دورة تتألف من دقيقتين (دقيقة للصعود ودقيقة للانزلاق)، يكون الوقت الإجمالي لوصوله إلى أعلى العمود هو 10 دورات × 2 دقيقة للدورة = 20 دقيقة.

إذاً، يحتاج القرد إلى 20 دقيقة ليصل إلى أعلى العمود.

بالطبع، دعونا نقوم بتحليل المسألة بشكل أعمق ونستخدم بعض القوانين الرياضية لفهم العملية بشكل أفضل.

لنعبر عن حركة القرد بشكل رياضي، فلنفترض أن $d_n$ هو المسافة التي قطعها القرد بعد $n$ دقيقة. في الدقيقة الأولى ($n = 1$)، يصعد 2 متر، لذا $d_1 = 2$. في الدقيقة التالية ($n = 2$)، ينزلق لأسفل 1 متر، لذا $d_2 = 1$. وهكذا نستمر في تكرار هذه العملية.

نجد أن هناك نمطًا يتكرر: في كل دورة من دورات القرد (صعودًا وانزلاقًا)، يتقدم بمقدار 1 متر. إذاً، بعد $n$ دقيقة، سيكون المجموع $d_n$ هو عدد الدورات التي قام بها القرد حتى تلك اللحظة.

معرفة متى سيصل القرد إلى القمة يتطلب معرفة عدد الدورات التي قطعها. للوصول إلى ذلك، يمكننا استخدام القاعدة التالية: $d_n = n$ حيث $d_n$ هو المسافة المقطوعة بعد $n$ دقيقة.

القاعدة هنا تعبر عن أن المسافة المقطوعة تكون مساوية لعدد الدورات، ونعلم أن كل دورة تتألف من دقيقتين. لذلك:

$d_n = n$

وبالتالي:

$n = d_n$

لحساب الوقت الكلي الذي يحتاجه القرد للوصول إلى القمة، نحتاج إلى معرفة عدد الدورات الكلي $d_n$. علمًا أن القرد يرتفع 2 متر في كل دورة، يمكننا استخدام القاعدة التالية لحساب عدد الدورات:

$d_n = 2 \times (\text{عدد الدورات})$

وبما أن $n = d_n$، يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$n = 2 \times (\text{عدد الدورات})$

لحساب عدد الدورات ($\text{عدد الدورات}$)، يمكننا استخدام القاعدة:

$\text{عدد الدورات} = \frac{n}{2}$

الآن نستبدل قيمة $n = 10$ (لأن القرد يحتاج 10 دقائق للوصول إلى القمة):

$\text{عدد الدورات} = \frac{10}{2} = 5$

إذاً، القرد يقوم بخمس دورات. وبما أن كل دورة تأخذ دقيقتين، فإن الوقت الكلي سيكون:

$\text{الوقت الكلي} = 5 \times 2 = 10 \text{ دقائق}$

لذا، يحتاج القرد إلى 10 دقائق ليصل إلى أعلى العمود.