العنوان: حل مسألة الأعداد الحقيقية (مسألة رياضيات)

لنقم بإعادة صياغة المسألة باللغة العربية:

لأعداد حقيقية $x$ و $y$، إذا كان $2(x^2 + y^2) = x + y$، فما هي القيمة القصوى للتعبير $x – y$؟

الآن سنقوم بحل المسألة:

من المعادلة $2(x^2 + y^2) = x + y$، يمكننا إعادة صياغتها إلى المعادلة التالية:
$2x^2 + 2y^2 – x – y = 0$

لنقم بتجميع الأعداد في الجهة اليمنى:
$2x^2 – x + 2y^2 – y = 0$

نريد العثور على القيمة القصوى لـ $x – y$، لذا سنقوم بتحويل هذه المعادلة إلى شكل يسهل العمل به. قد نلاحظ أن هذه المعادلة تشبه معادلة الدائرة، ولكن بمعاملات مضاعفة.

سنقوم بإتمام المربع لتسهيل العملية:
$2(x^2 – \frac{1}{2}x + \frac{1}{8}) + 2(y^2 – \frac{1}{2}y + \frac{1}{8}) = 0$
$2(x – \frac{1}{4})^2 + 2(y – \frac{1}{4})^2 – \frac{1}{2} = 0$

الآن، يظهر لنا أن معادلتنا تشبه دائرة في المستوى الكارتيزي، لكن مضاعفة في الشكل. تتوسط الدائرة نقطة $(\frac{1}{4}, \frac{1}{4})$، ونصف قطر الدائرة يساوي $\frac{1}{\sqrt{2}}$. إذاً، يمكننا أن نقول أن $x$ و $y$ يكونان على مسافة أقل من أو تساوي $\frac{1}{\sqrt{2}}$ من النقطة $(\frac{1}{4}, \frac{1}{4})$.

الآن نريد أن نجد القيمة القصوى لـ $x – y$، وهذا يحدث عندما يكون $x$ أكبر قدر ممكن و $y$ أصغر قدر ممكن، وهذا يحدث عندما يكون $x$ على بعد $\frac{1}{\sqrt{2}}$ من النقطة $(\frac{1}{4}, \frac{1}{4})$ في الاتجاه الموجب لمحور $x$، و $y$ على بعد $\frac{1}{\sqrt{2}}$ من النقطة $(\frac{1}{4}, \frac{1}{4})$ في الاتجاه السالب لمحور $y$.

إذاً، نقوم بحساب الفارق بين $x$ و $y$ في هذه الحالة:
$x – y = \frac{1}{4} + \frac{1}{\sqrt{2}} – \left( \frac{1}{4} – \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

لذا، القيمة القصوى لـ $x – y$ هي $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

لحل المسألة وإيجاد القيمة القصوى للتعبير $x – y$، سنستخدم بعض الخطوات الهامة والقوانين الرياضية. سنبدأ بالتحويلات الجبرية للمعادلة المعطاة $2(x^2 + y^2) = x + y$ للوصول إلى صيغة يسهل العمل بها.

الخطوات المستخدمة:

1. تجميع المتغيرات والثوابت: نقوم بتجميع جميع المتغيرات والثوابت في جانب واحد من المعادلة للحصول على معادلة منتظمة.

2. إكمال المربعات: يمكن استخدام إكمال المربعات لتحويل المعادلة إلى شكل يسهل التعامل معه.

3. تحليل هندسي للمعادلة: يمكن استخدام التحليل الهندسي لفهم المعادلة واستخلاص المعلومات الهندسية المفيدة لحل المسألة.

4. استخدام الخواص الجبرية: نستخدم خواص الجبر في تبسيط التعبيرات وحساب القيم.

5. تحديد الحد الأقصى: بعد الحصول على التعبير البسيط، نحدد القيمة القصوى بناءً على المعلومات المتاحة والتحليل الهندسي.

الآن، سنقوم بتطبيق هذه الخطوات على المسألة:

1. تجميع المتغيرات والثوابت:
   $2(x^2 + y^2) = x + y$

2. إكمال المربعات:
   نقوم بتحويل المعادلة إلى شكل يستخدم إكمال المربعات:
   $2x^2 – x + 2y^2 – y = 0$

3. تحليل هندسي للمعادلة:
   نلاحظ أن المعادلة تشبه معادلة دائرة، ولكنها مضاعفة. يمكننا استخدام هذا التحليل لفهم موقع وشكل الدائرة المعادلة واستنتاج معلومات مفيدة.

4. استخدام الخواص الجبرية:
   نستخدم الجبر لحساب قيمة $x – y$ بعد تبسيط المعادلة.

5. تحديد الحد الأقصى:
   نستنتج القيمة القصوى لـ $x – y$ بناءً على المعلومات المتاحة والتحليل الهندسي.

بهذه الطريقة، نحل المسألة باستخدام مجموعة متنوعة من الأدوات الرياضية والتحليلية، مما يسمح لنا بفهم أعمق للمسألة والوصول إلى الإجابة بشكل دقيق وموثوق.