العنوان: حساب الدوال والعكس الضريبي (مسألة رياضيات)

إذا كانت $f(x) = 3x + 4$ و $g(x) = 2x – 3$، وإذا كانت $h(x) = f(g(x))$، فما هو العكس الضريبي لـ $h(x)$؟

لحساب $h(x)$، نستخدم دالة $g(x)$ كمدخل لدالة $f(x)$. بمعنى آخر، نقوم بوضع دالة $g(x)$ بدلاً من $x$ في دالة $f(x)$. لذلك:

$h(x) = f(g(x)) = f(2x – 3)$

لحساب $h(x)$، نقوم بوضع $2x – 3$ بدلاً من $x$ في $f(x)$:

$h(x) = 3(2x – 3) + 4$

$h(x) = 6x – 9 + 4$

$h(x) = 6x – 5$

الآن، لحساب العكس الضريبي لـ $h(x)$، نقوم بتبديل $x$ و $h(x)$ ونحل لـ $x$:

$y = 6x – 5$

$y + 5 = 6x$

$x = \frac{y + 5}{6}$

لذا، العكس الضريبي لـ $h(x)$ هو:

$h^{-1}(x) = \frac{x + 5}{6}$

لحل المسألة واستنتاج العكس الضريبي لدالة $h(x) = f(g(x))$، نحتاج إلى فهم العلاقة بين الدوال $f(x)$ و $g(x)$، وكيفية تطبيقها للعثور على $h(x)$ وبعد ذلك العثور على العكس الضريبي $h^{-1}(x)$.

أولاً، لنستخدم قاعدة التركيب للدوال. وفقًا لهذه القاعدة، عندما نقوم بتطبيق دالة واحدة على نتيجة دالة أخرى، نقوم بوضع النتيجة في الدالة الأولى. لذا، يمكننا كتابة $h(x) = f(g(x))$.

بعد ذلك، نحتاج إلى استخدام القوانين الحسابية البسيطة لتحديد $h(x)$. نستبدل $g(x)$ في دالة $f(x)$ ونحسب الناتج. هنا، قمنا بإستبدال $g(x)$ بدلاً من $x$ في دالة $f(x)$ للحصول على $h(x)$.

بما أن $f(x) = 3x + 4$ و $g(x) = 2x – 3$، يكون $h(x) = f(g(x)) = f(2x – 3)$. عند وضع $2x – 3$ بدلاً من $x$ في $f(x)$، نحصل على:

$h(x) = 3(2x – 3) + 4$

$h(x) = 6x – 9 + 4$

$h(x) = 6x – 5$

ثم، للعثور على العكس الضريبي $h^{-1}(x)$، نقوم بتفكيك الدالة $h(x)$ ونحل لـ $x$. هنا استخدمنا القوانين الجبرية البسيطة لتبديل القيمة المستقلة مع الغيرة، وقسمنا على المعامل السابق للغيرة.

$y = 6x – 5$

$y + 5 = 6x$

$x = \frac{y + 5}{6}$

وبالتالي، نجد أن العكس الضريبي لـ $h(x)$ هو:

$h^{-1}(x) = \frac{x + 5}{6}$

باختصار، قمنا باستخدام قاعدة التركيب للدوال، والقوانين الحسابية البسيطة للحساب، والقوانين الجبرية البسيطة للعثور على العكس الضريبي.