العكس المتبادل لـ $.\overline{2}$: حساب وتحويل. (مسألة رياضيات)

العملية التي نحتاج إلى تنفيذها هي حساب العكس المتبادل للكسر الذي يمثل العدد المتكرر $.\overline{2}$. لنقم بتحويل هذا العدد المتكرر إلى كسر عشري، حيث يكون الرقم الذي يتكرر هو 2. لحساب الكسر، نقوم بتقسيم الرقم المتكرر (2) على عدد أرقام يمثله (99).

من المعروف أن $.\overline{2} = 2.2222…$ وهذا يمكن تمثيله بالكسر كالتالي:
$.\overline{2} = \frac{2}{9}$

الآن، نحن بحاجة إلى حساب العكس المتبادل لهذا الكسر، والذي يتم ببساطة عن طريق تبديل المكرر بالمقسوم والعكس.

إذاً، العكس المتبادل لكسر $\frac{2}{9}$ يمكن تمثيله على النحو التالي:
$\frac{1}{\frac{2}{9}} = \frac{9}{2}$

وبالتالي، العكس المتبادل لـ $.\overline{2}$ هو $\frac{9}{2}$.

لحل مسألة حساب العكس المتبادل للكسر الذي يمثل العدد المتكرر $.\overline{2}$، نحتاج أولاً إلى تحويل هذا العدد المتكرر إلى كسر عشري. في هذه العملية، سنستخدم بعض القوانين الرياضية والتحويلات الرقمية للأعداد.

القانون المستخدم هو قانون تحويل الأعداد المتكررة إلى كسور عشرية. إذا كانت الأرقام تتكرر بعد الفاصلة العشرية، يمكن تمثيل العدد على شكل كسر، حيث يكون العدد المتكرر هو البارامتر الذي نقسمه على عدد يتكون من تسلسل من التسعات (99، 999، إلخ) حسب عدد الأرقام المتكررة.

نحن نعلم أن $.\overline{2}$ يمثل عددًا متكررًا بشكل لانهائي من الأعداد 2 بعد الفاصلة العشرية. لتحويل ذلك إلى كسر عشري، نقوم بتقسيم 2 على عدد مكون من تسلسل من التسعات.

$.\overline{2} = \frac{2}{9}$

الآن بما أننا نعلم أن العكس المتبادل للكسر هو تبديل المقسوم والمقسم، فنقوم بذلك:
$\frac{1}{\frac{2}{9}} = \frac{9}{2}$

بالتالي، العكس المتبادل لـ $.\overline{2}$ هو $\frac{9}{2}$.

بهذا الشكل، قمنا باستخدام قوانين الجبر والتحويلات العددية لحساب العكس المتبادل للعدد المتكرر $.\overline{2}$. استخدمنا قانون تحويل الأعداد المتكررة إلى كسور عشرية، وقانون العكس المتبادل للكسور في الحساب.