العثور على القيمة الدنيا للتعبير الرياضي (مسألة رياضيات)

للعثور على القيمة الدنيا للتعبير
$x^2 + xy + y^2$
على مجموعة الأعداد الحقيقية $x$ و $y$، نقوم بتحليل هذا التعبير وتطبيق بعض الخصائص الرياضية. يمكن كتابة التعبير بشكل مربعي كالتالي:
$x^2 + xy + y^2 = \frac{3}{4}x^2 + 2xy + \frac{3}{4}y^2$

ثم يمكن تمثيله كمربع كامل باستخدام التالي:
$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y\right)^2$

الآن، يتضح أن أقل قيمة يمكن أن يأخذها التعبير الأصلي هي عندما يكون المربع الكامل يساوي صفر، أي عندما يكون:
$\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y = 0$

من هذا يتبين أن القيمة الدنيا تحدث عندما يكون $x = -y$. وبالتالي، يكون الحل لهذه المسألة هو $x = -y$، والقيمة الدنيا هي صفر.

لحل مسألة العثور على القيمة الدنيا للتعبير
$x^2 + xy + y^2$
على مجموعة الأعداد الحقيقية $x$ و $y$، نستخدم بعض القوانين الرياضية والتحويلات المناسبة. نبدأ بتحليل التعبير:

$x^2 + xy + y^2 = \frac{3}{4}x^2 + 2xy + \frac{3}{4}y^2$

نريد تمثيل هذا التعبير كمربع كامل، ونستخدم في ذلك خاصية الإكمال:

$\frac{3}{4}x^2 + 2xy + \frac{3}{4}y^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y\right)^2$

الآن، وفي سعينا للعثور على القيمة الدنيا، نعلم أن المربع الكامل يأخذ قيمة صفر عندما تكون المُضاعَفة الخطية في داخله تساوي صفر:

$\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y = 0$

نقوم بحل هذه المعادلة الخطية للعثور على الحلول. نقسم كل طرف على $\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$x + y = 0$

وبالتالي، الحل العام لهذه المعادلة هو أي قيمة لـ $x$ تكون معكوسة ومتساوية بالقيمة المقابلة لـ $y$. بمعنى آخر، $x$ يكون متساوياً للقيمة المعكوسة لـ $y$. لذلك، نقول $x = -y$.

الآن، نستبدل قيمة $x$ بـ $-y$ في التعبير الأصلي:

$(-y)^2 + (-y)y + y^2 = 0$

وهذا يُساوي صفر. لذلك، القيمة الدنيا للتعبير هي صفر.

القوانين المستخدمة في الحل تتضمن:

1. تحليل التعبير وتحويله إلى شكل مناسب.
2. استخدام قاعدة الإكمال لتمثيل التعبير كمربع كامل.
3. استخدام خاصية المربع الكامل للعثور على القيمة الدنيا.
4. حل المعادلة الخطية للعثور على الحلول.

بهذه الطريقة، تم استخدام القوانين الرياضية المعتمدة على الخواص المعروفة للتعبيرات الرياضية للوصول إلى الحل بطريقة دقيقة ومفصلة.