العثور على أقصى قيمة للتعبير الرياضي (مسألة رياضيات)

القيمة الأكبر للتعبير $x^2 – 10x + 16$ تتحقق عندما تكون قيمة $x$ تقع في النقطة الفاصلة بين الجزء المتناقص والجزء المتزايد من المعادلة. يمكن حساب هذه النقطة باستخدام النصف المعادلة للمنحنى، حيث $x$ هو المحور الرئيسي للتماثل.

للعثور على هذه النقطة، نستخدم الصيغة:
$x_{\text{vertex}} = \frac{-b}{2a}$

حيث $a$ و $b$ هما معاملات المربع والمرآة على التوالي. في هذه الحالة:
$a = 1, \quad b = -10, \quad c = 16$

نقوم بحساب $x_{\text{vertex}}$:
$x_{\text{vertex}} = \frac{-(-10)}{2(1)} = \frac{10}{2} = 5$

إذاً، القيمة الأكبر للتعبير $x^2 – 10x + 16$ تتحقق عند $x = 5$.

لنقم بحل المسألة بتفصيل أكبر وذلك باستخدام القوانين والمفاهيم الرياضية المتعلقة بالتعامل مع المعادلات الرياضية من الدرجة الثانية. المعادلة الرياضية التي نحاول الحساب عليها هي:

$f(x) = x^2 – 10x + 16$

حيث $f(x)$ هي الدالة التي تمثل التعبير $x^2 – 10x + 16$. الهدف هو العثور على قيمة $x$ التي تجعل هذا التعبير أكبر.

أولًا، نستخدم القانون الذي يقول إن قمة المنحنى الذي يمثل دالة من الدرجة الثانية يمكن حسابها باستخدام الصيغة:

$x_{\text{vertex}} = \frac{-b}{2a}$

حيث $a$ و $b$ هما معاملات المربع والمرآة على التوالي. في هذه الحالة، $a = 1$ و $b = -10$، لذا:

$x_{\text{vertex}} = \frac{-(-10)}{2(1)} = \frac{10}{2} = 5$

لذا، $x = 5$ هي قيمة $x$ التي تجعل التعبير $x^2 – 10x + 16$ يحقق أقصى قيمة.

ثم، للتحقق من أن هذه القيمة هي القيمة القصوى، يمكننا استخدام القاعدة التي تقول إن إذا كان المعامل $a$ إيجابيًا (في حالتنا $a = 1$)، فإن القيمة الناتجة للدالة في $x_{\text{vertex}}$ هي قيمة دنيا (أو قيمة صغرى). ونظراً لأن $a$ إيجابي، فإن القيمة في $x = 5$ هي القيمة القصوى.

لذا، تمثل العمليات المستخدمة في الحل القوانين الرياضية المتعلقة بالمعادلات من الدرجة الثانية والمنحنيات الرياضية.