الدالة المتساوية المسافة: حل المسألة (مسألة رياضيات)

إذا كانت الدالة $f$ معرفة على الأعداد المركبة على النحو التالي: $f(z) = (a + bi)z$، حيث $a$ و $b$ أعداد موجبة، ويكون $f(z)$ متساوية المسافة بين $z$ والأصل لكل عدد مركب $z$، مع $|a + bi| = 8$، فما قيمة $b^2$؟

دعونا نبدأ بفهم الظروف المعطاة في المسألة. نعرف أن $f(z)$ هي متساوية المسافة بين $z$ والأصل، وهذا يعني أن مقدار $f(z)$ يجب أن يكون مساويًا لمقدار $z$، أي $|f(z)| = |z|$. لكن هذا يمكن تعبيره بشكل مختصر بمقدار مربع الحاصل من الرقم العقدي $f(z)$ يجب أن يكون مساويًا لمربع مقدار $z$، أي $|f(z)|^2 = |z|^2$.

للعثور على حل هذه المعادلة، نستخدم التعبيرات المعروفة لمقدار العدد المركب $z$ والتي تكون مقدارها $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$، حيث $a$ و $b$ هما جزء الحقيقي والموهومي من $z$ على التوالي.

بالتالي، نقوم بحساب مربع مقدار $f(z)$، وهو $|f(z)|^2 = |(a + bi)z|^2$، الذي يساوي $|(a + bi)z|^2 = |a + bi|^2 |z|^2$ بما أن خواص قيمة المطلق تنطبق على الضرب.

من المعطيات في المسألة، نعلم أن $|a + bi| = 8$، لذا $|a + bi|^2 = (8)^2 = 64$.

وبالتالي، لدينا المعادلة التالية:
$|(a + bi)z|^2 = 64 \times (a^2 + b^2)$

ونعرف أيضًا أن $|z|^2 = a^2 + b^2$.

لذا يمكننا كتابة المعادلة كالتالي:
$64 \times (a^2 + b^2) = a^2 + b^2$

ومن هنا يمكننا حل المعادلة للعثور على قيمة $b^2$، والتي ستكون:
$64a^2 + 64b^2 = a^2 + b^2$
$63a^2 + 63b^2 = 0$
$63(a^2 + b^2) = 0$

من هذا، نجد أن $a^2 + b^2 = 0$، ونظرًا لأن $a$ و $b$ هما أعداد موجبة، فإن القيمة الوحيدة التي يمكن أن تجعل هذه المعادلة صحيحة هي $a^2 + b^2 = 0$، وبالتالي $b^2 = 0$.

إذاً، قيمة $b^2$ هي صفر.

في هذه المسألة، نحن بحثنا عن قيمة $b^2$ عندما يكون الدالة $f(z)$ متساوية المسافة بين $z$ والأصل لكل عدد مركب $z$، مع $|a + bi| = 8$.

لحل هذه المسألة، استخدمنا مفهوم المسافة بين نقطتين في الفضاء العقدي، والذي يُعبر عنه باستخدام القيمة المطلقة للفارق بين النقطتين. وفي هذه الحالة، الدالة $f(z)$ متساوية المسافة بين $z$ والأصل، مما يعني أن $|f(z)| = |z|$.

نستخدم القوانين التالية في الحل:

1. قانون مقدار العدد المركب: للعدد المركب $z = a + bi$، فإن مقداره هو $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

2. خواص القيم المطلقة:

   • $|zw| = |z| \cdot |w|$
   • $|z|^2 = z \cdot \overline{z}$

3. معادلة الدالة المتساوية المسافة:

   • إذا كانت الدالة $f(z)$ متساوية المسافة بين $z$ والأصل، فإن $|f(z)| = |z|$، أي $|f(z)|^2 = |z|^2$.

نبدأ بتطبيق هذه القوانين على المعادلة المعطاة:

$|(a + bi)z|^2 = |a + bi|^2 |z|^2$

باستخدام القوانين المذكورة أعلاه، نحصل على:

$|(a + bi)z|^2 = |a + bi|^2 |z|^2$
$|(a + bi)z|^2 = (a^2 + b^2)(a^2 + b^2)$

ونعرف أيضاً أن $|z|^2 = a^2 + b^2$، لذا:

$|(a + bi)z|^2 = 64(a^2 + b^2)$

المعادلة تصبح:

$64(a^2 + b^2) = (a^2 + b^2)$

الآن، نحل المعادلة للعثور على قيمة $b^2$ بما نعرف أن $a$ و $b$ هما أعداد موجبة:

$63(a^2 + b^2) = 0$

لذا:

$a^2 + b^2 = 0$

وبما أن $a^2$ و $b^2$ هما موجبة، يجب أن تكون قيمة $b^2$ صفرًا:

$b^2 = 0$

وهكذا، وجدنا أن قيمة $b^2$ هي صفر في هذه المسألة.