الدالة العكسية: حساب a / c a/c a / c (مسألة رياضيات)

الدالة العكسية للدالة $f(x) = \frac{2x-1}{x+5}$ يمكن كتابتها في الصيغة $f^{-1}(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$، حيث $a$، $b$، $c$، و $d$ أعداد حقيقية. لإيجاد قيمة $a/c$، يجب أولاً حساب الدالة العكسية.

للعثور على الدالة العكسية $f^{-1}(x)$، نقوم بتبديل $x$ و $y$ في الدالة الأصلية ونحاول حل المعادلة للحصول على $y$ بالتبعية.

لذلك، نقوم بالخطوات التالية:

البداية: نكتب $y$ بدلاً من $f(x)$:

$y = \frac{2x – 1}{x + 5}$

الخطوة 1: نقوم بتبديل $x$ و $y$:

$x = \frac{2y – 1}{y + 5}$

الخطوة 2: نحاول حل المعادلة للحصول على $y$:

نقوم بضرب كلا الجانبين بـ $y + 5$:

$x(y + 5) = 2y – 1$

$xy + 5x = 2y – 1$

ننقل كل المصطلحات التي تحتوي $y$ إلى الجهة اليمنى وكل المصطلحات الأخرى إلى الجهة اليسرى:

$xy – 2y = -5x – 1$

نقوم بعامل مشترك من $y$:

$y(x – 2) = -5x – 1$

$y = \frac{-5x – 1}{x – 2}$

الآن، نقارن $f^{-1}(x)$ مع $\frac{ax + b}{cx + d}$ لنحدد قيم $a$ و $c$:

$f^{-1}(x) = \frac{-5x – 1}{x – 2}$

بالمقارنة مع $f^{-1}(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$، يكون لدينا:

$a = -5, \quad b = -1, \quad c = 1, \quad d = -2$

وبالتالي،

$\frac{a}{c} = \frac{-5}{1} = -5$

لحل مسألة إيجاد الدالة العكسية وتحديد قيمة $\frac{a}{c}$ في الدالة الخطية، نستخدم القوانين والخطوات التالية:

1. تبديل الأشكال: نبدأ بتبديل قيم $x$ و $y$ في الدالة الأصلية $f(x) = \frac{2x – 1}{x + 5}$ للعثور على الدالة العكسية $f^{-1}(x)$.

2. حساب الدالة العكسية: نقوم بتبديل $x$ و $y$ في الدالة الأصلية ونحاول حل المعادلة للحصول على $y$ بالتبعية.

3. التلاعب بالمعادلة: نقوم بالتلاعب بالمعادلة للحصول على $y$ في صيغة قابلة للحل.

4. مقارنة الدالة العكسية المستحوذة مع الصيغة المعطاة: نقوم بمقارنة الدالة العكسية المستحوذة $f^{-1}(x)$ مع الصيغة المعطاة $\frac{ax + b}{cx + d}$ لتحديد قيم $a$ و $c$.

5. حساب $\frac{a}{c}$: بمجرد معرفة قيم $a$ و $c$، نقوم بحساب نسبة $\frac{a}{c}$ للحصول على الإجابة المطلوبة.

تمثل هذه الخطوات العامة التي نتبعها لحل مسألة إيجاد الدالة العكسية وتحديد قيمة ( \frac{a}{

c} ).

الآن، دعنا نتطرق إلى التفاصيل الدقيقة للحل:

1. تبديل الأشكال:
   نبدأ بتبديل قيم $x$ و $y$ في الدالة الأصلية:
   $y = \frac{2x – 1}{x + 5}$
   نقوم بتبديل $x$ و $y$ للعثور على الدالة العكسية.

2. حساب الدالة العكسية:
   نبدأ بتبديل $x$ و $y$ في الدالة الأصلية:
   $x = \frac{2y – 1}{y + 5}$
   نحاول حل المعادلة للحصول على $y$.

3. التلاعب بالمعادلة:
   نقوم بضرب كلا الجانبين بـ $y + 5$:
   $x(y + 5) = 2y – 1$
   ومن ثم، نقوم بترتيب المصطلحات للعثور على $y$.

4. مقارنة الدالة العكسية المستحوذة مع الصيغة المعطاة:
   نقارن $f^{-1}(x)$ مع $\frac{ax + b}{cx + d}$ لنحدد قيم $a$ و $c$.

5. حساب $\frac{a}{c}$:
   بعد معرفة قيم $a$ و $c$، نقوم بحساب $\frac{a}{c}$ للحصول على الإجابة المطلوبة.

بهذه الطريقة، نتمكن من إيجاد الدالة العكسية وتحديد قيمة $\frac{a}{c}$ باستخدام الخطوات المبينة أعلاه، مما يساعد في فهم العملية بشكل شامل وتفصيلي.