الحد الأدنى لمجموع التقسيم التجريدي (مسألة رياضيات)

المطلوب: إيجاد القيمة الدنيا للتعبير $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ عندما تكون $x$ و $y$ عددين حقيقيين إيجابيين يقبلان المجموع $10$.

الحل:
لنقم بحساب قيمة التعبير $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ عندما يكون $x+y=10$. من المعادلة $x+y=10$، يمكننا حل ل $y$ للحصول على $y=10-x$.
الآن نستبدل قيمة $y$ في التعبير $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{10-x}$

نريد الآن إيجاد الحد الأدنى لهذا التعبير. لهذا الغرض، نستخدم القيمة المطلقة لدالة. لنقم بذلك عن طريق حساب مشتق الدالة ثم البحث عن النقاط التي تكون فيها المشتقة تساوي صفرا أو غير معرفة.

لذا، نقوم بحساب المشتقة الأولى للتعبير $\frac{1}{x} + \frac{1}{10-x}$ باستخدام قاعدة المشتقات، ونجد أنها تساوي:
$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{10-x}\right) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{(10-x)^2}$

ثم نقوم بوضع المشتقة تساوي صفر لحساب النقاط الحرجة:
$-\frac{1}{x^2} + \frac{1}{(10-x)^2} = 0$

بعد حل المعادلة، يمكننا أن نجد أنه يمكن أن تكون $x = 5$ أو $x = 10$.

الآن نحتاج لفحص النقطتين المحتملتين للحد الأدنى عن طريق إدخالهما إلى التعبير الأصلي:

• عند $x=5$، يكون التعبير $\frac{1}{x} + \frac{1}{10-x}$ يساوي $\frac{1}{5} + \frac{1}{10-5} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$.
• عند $x=10$، يكون التعبير $\frac{1}{x} + \frac{1}{10-x}$ يساوي $\frac{1}{10} + \frac{1}{10-10} = \frac{1}{10} + \frac{1}{0}$، وهنا يكون التعبير غير معرف بالشكل الحالي.

بالتالي، نجد أن الحد الأدنى للتعبير $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ عندما $x+y=10$ هو $\frac{2}{5}$.

لحل المسألة وإيجاد القيمة الدنيا للتعبير $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ عندما $x + y = 10$، سنستخدم مفهوم الدوال وتقنيات الحساب التفاضلي. سنستخدم القاعدة الأساسية للمشتقات ومفهوم النقاط الحرجة.

الخطوات الرئيسية لحل المسألة:

1. تعريف المسألة: نعرف المتغيرات والشروط المفروضة. في هذه المسألة، المتغيران هما $x$ و $y$، والشرط هو $x + y = 10$.

2. إيجاد التعبير الهدف: نحتاج إلى إيجاد التعبير الذي نحاول تحسينه أو تقليل قيمته. في هذه الحالة، التعبير المطلوب تقليل قيمته هو $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$.

3. تعبير الشرط بشكل معادلة واحدة: يتمثل الشرط في $x + y = 10$.

4. تعبير الهدف بشكل دالة واحدة: نقوم بتعبير التعبير المطلوب كدالة واحدة من متغير واحد. في هذه الحالة، نستخدم الدالة $f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{10 – x}$.

5. حساب المشتقة الأولى للدالة الهدف: نقوم بحساب المشتقة الأولى للدالة الهدف $f(x)$، وهي الخطوة التي تتضمن استخدام قواعد الديفيرنشيشن.

6. حل المعادلة التفاضلية: نجد القيمة التي تجعل المشتقة الأولى تساوي صفرًا أو غير معرفة. هذه القيمة تمثل نقطة حرجة.

7. تحديد القيمة الدنيا: بعد تحديد النقطة الحرجة، نحسب قيمة الدالة في هذه النقطة ونتحقق من أنها تمثل القيمة الدنيا.

8. التحقق من النتيجة: نتحقق من أن القيمة التي حصلنا عليها هي القيمة الدنيا عن طريق استخدام تحليل الدالة ومفهوم الحد الأقصى والحد الأدنى.

في هذا الحل، تم استخدام قوانين المشتقات والتفاضل والقواعد الأساسية للحساب لإيجاد الحد الأدنى للتعبير المعطى.