التمثيل الثلاثي والثماني: مقارنة للأرقام (مسألة رياضيات)

كم عدد الأرقام الإضافية التي يحتوي عليها التمثيل الثلاثي للقاعدة للعدد $987_{10}$ مقارنة بالتمثيل الثماني لنفس العدد؟

الحل:
لنقوم بتحويل العدد $987_{10}$ إلى نظام العد الثلاثي والثماني لنحسب عدد الأرقام في كل تمثيل.

للتحويل إلى نظام العد الثلاثي:
نقوم بتقسيم العدد $987$ على $3$، ونحتفظ بالقسمة الكلية لكل خطوة، ونكرر العملية حتى يكون الناتج صفرًا.

$987 \div 3 = 329$، الباقي 0
$329 \div 3 = 109$، الباقي 2
$109 \div 3 = 36$، الباقي 1
$36 \div 3 = 12$، الباقي 0
$12 \div 3 = 4$، الباقي 0
$4 \div 3 = 1$، الباقي 1
$1 \div 3 = 0$، الباقي 1

نقوم بقراءة الأرقام الباقية من الأسفل إلى الأعلى، وبذلك نحصل على التمثيل الثلاثي للعدد $987_{10}$ وهو $1112021_3$.

الآن للتحويل إلى نظام العد الثماني:
نقوم بتقسيم العدد $987$ على $8$، ونحتفظ بالقسمة الكلية لكل خطوة، ونكرر العملية حتى يكون الناتج صفرًا.

$987 \div 8 = 123$، الباقي 3
$123 \div 8 = 15$، الباقي 3
$15 \div 8 = 1$، الباقي 7
$1 \div 8 = 0$، الباقي 1

نقوم بقراءة الأرقام الباقية من الأسفل إلى الأعلى، وبذلك نحصل على التمثيل الثماني للعدد $987_{10}$ وهو $1733_8$.

الآن، نقوم بمقارنة عدد الأرقام في التمثيلين:
للتمثيل الثلاثي، هناك 7 أرقام.
للتمثيل الثماني، هناك 4 أرقام.

إذًا، يحتوي التمثيل الثلاثي للعدد $987_{10}$ على 3 أرقام أكثر من التمثيل الثماني لنفس العدد.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتحويل العدد $987_{10}$ إلى نظامي العد الثلاثي والعد الثماني. سنستخدم بعض القوانين والخطوات الرياضية لذلك.

1. تحويل العدد إلى النظام الثلاثي:

   • نستخدم قاعدة قسمة الأعداد على 3.
   • نقوم بتقسيم العدد $987$ على $3$ ونحفظ الباقي في كل خطوة.
   • نكرر هذه العملية حتى يكون الناتج صفرًا.
   • نقرأ الأرقام الباقية من الأسفل إلى الأعلى للحصول على التمثيل الثلاثي.

2. تحويل العدد إلى النظام الثماني:

   • نستخدم قاعدة قسمة الأعداد على 8.
   • نقوم بتقسيم العدد $987$ على $8$ ونحفظ الباقي في كل خطوة.
   • نكرر هذه العملية حتى يكون الناتج صفرًا.
   • نقرأ الأرقام الباقية من الأسفل إلى الأعلى للحصول على التمثيل الثماني.

الآن، دعونا نقوم بتفصيل الحل:

تحويل إلى النظام الثلاثي:
\begin{align*}
&987 \div 3 = 329 \quad (\text{الباقي: 0}) \
&329 \div 3 = 109 \quad (\text{الباقي: 2}) \
&109 \div 3 = 36 \quad (\text{الباقي: 1}) \
&36 \div 3 = 12 \quad (\text{الباقي: 0}) \
&12 \div 3 = 4 \quad (\text{الباقي: 0}) \
&4 \div 3 = 1 \quad (\text{الباقي: 1}) \
&1 \div 3 = 0 \quad (\text{الباقي: 1}) \
\end{align*}
التمثيل الثلاثي: $1112021_3$

تحويل إلى النظام الثماني:
\begin{align*}
&987 \div 8 = 123 \quad (\text{الباقي: 3}) \
&123 \div 8 = 15 \quad (\text{الباقي: 3}) \
&15 \div 8 = 1 \quad (\text{الباقي: 7}) \
&1 \div 8 = 0 \quad (\text{الباقي: 1}) \
\end{align*}
التمثيل الثماني: $1733_8$

مقارنة الأرقام:
عدد الأرقام في التمثيل الثلاثي: 7 أرقام
عدد الأرقام في التمثيل الثماني: 4 أرقام

إذًا، يحتوي التمثيل الثلاثي للعدد $987_{10}$ على 3 أرقام أكثر من التمثيل الثماني لنفس العدد.

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة قسمة الأعداد على 3 و 8: تستخدم لتحديد الحاصل والباقي عند قسمة العدد على 3 و 8.
2. قراءة الأرقام من الأسفل إلى الأعلى: تستخدم لقراءة الأرقام المتولدة من عمليات القسمة والحصول على التمثيل الثلاثي والثماني.