التلاقي بين الوسيطة والمتوسط: لغز القيم الرياضية (مسألة رياضيات)

المجموعة s = {x، -8، -5، -1، 1، 6، 9، y} مرتبة بترتيب تصاعدي. إذا كانت الوسيطة والمتوسط للمجموعة هما نفس القيمة، فما هو قيمة |x| – |y|؟

الحل:

لنبدأ بتحديد الوسيطة والمتوسط للمجموعة. نعلم أن الوسيطة هي القيمة الوسطية في المجموعة بعد ترتيبها بترتيب تصاعدي. في هذه الحالة، لدينا 8 عناصر في المجموعة، لذا الوسيطة ستكون القيمة في الموضع (8 + 1) / 2 = 4.5 بعد الترتيب. وبما أن القيم في المواقع 4 و 5 هي -1 و 1 على التوالي، يكون الوسيطة هي ( -1 + 1 ) / 2 = 0.

الآن، لنحسب المتوسط. المتوسط هو مجموع القيم مقسومًا على عددها. لدينا 8 عناصر، لذا المتوسط يكون (x – 8 – 5 – 1 + 1 + 6 + 9 + y) / 8. ونعلم أن المتوسط يساوي الوسيطة، لذا:

(x – 8 – 5 – 1 + 1 + 6 + 9 + y) / 8 = 0

نقوم بتبسيط المعادلة:

x – 8 – 5 – 1 + 1 + 6 + 9 + y = 0

تجميع القيم:

x + y + 2 = 0

الآن، نحاول إيجاد القيمة المطلوبة |x| – |y|. لنقم بتجريب قيم مختلفة لـ x و y لنرى كيف يمكن أن تتحقق المعادلة. لنفترض x = 2 و y = -4، نحصل على:

|2| – |-4| = 2 – 4 = -2

إذاً، إجابة المسألة هي -2.

بالطبع، سنقوم بتوسيع الحل وذلك باستخدام القوانين الرياضية المستخدمة في حل المسألة.

المجموعة المعطاة هي: $s = \{x, -8, -5, -1, 1, 6, 9, y\}$ وهي مرتبة بترتيب تصاعدي. نريد حساب قيمة $|x| – |y|$ عندما تكون الوسيطة والمتوسط للمجموعة هما نفس القيمة.

لحساب الوسيطة، نقوم بترتيب المجموعة بترتيب تصاعدي. العناصر هي: -8، -5، -1، 1، 6، 9، x، y. بما أن عدد العناصر فردي (8 عناصر)، فإن الوسيطة هي القيمة في الموضع $(8 + 1) / 2 = 4.5$ بعد الترتيب. في هذه الحالة، الوسيطة هي 0.

لحساب المتوسط، نستخدم الصيغة: $\text{متوسط} = \frac{x – 8 – 5 – 1 + 1 + 6 + 9 + y}{8}$. وبما أن الوسيطة تساوي 0، نحصل على المعادلة:

$x + y + 2 = 0$

الآن، نريد إيجاد قيمة $|x| – |y|$. لنجرب بعض القيم لـ x و y:

1. عند $x = 2$ و $y = -4$:
   $|2| – |-4| = 2 – 4 = -2$

2. عند $x = -6$ و $y = 8$:
   $|-6| – |8| = 6 – 8 = -2$

إذا كانت القيمة دائمًا تساوي -2 بغض النظر عن القيم المختارة لـ x و y، يمكننا القول أن القانون المستخدم هو أن $|x| – |y|$ دائمًا يساوي -2 في هذا السياق.

القوانين المستخدمة:

1. قانون ترتيب العناصر في المجموعة.
2. صيغة الوسيطة.
3. صيغة المتوسط.
4. قانون القيم المطلقة $|a| = \begin{cases} a & \text{إذا كان } a \geq 0 \\ -a & \text{إذا كان } a < 0 \end{cases}$.