البحث عن القيمة القصوى لدالة فرعية (مسألة رياضيات)

المسألة:

العثور على القيمة القصوى للدالة
$f(x) = 3x – x^3$
عند $0 \le x \le \sqrt{3}.$

الحل:

نقوم أولاً بحساب الإشتقاق الأول للدالة $f(x)$ بالنسبة لـ $x$، ونضع الناتج يساوي صفر للعثور على النقاط الحرجة:

$f'(x) = 3 – 3x^2.$

ثم نقوم بحل المعادلة $f'(x) = 0$:

$3 – 3x^2 = 0.$

من ذلك، نحصل على $x^2 = 1$، وبالتالي $x = \pm 1.$

الآن، نقوم بتقييم الدالة $f(x)$ في النقاط الحرجة وفي نقاط الحدود ($x = 0$ و $x = \sqrt{3}$):

$f(-1) = 3 – (-1)^3 = 4,$
$f(1) = 3 – 1^3 = 2,$
$f(0) = 3(0) – 0^3 = 0,$
$f(\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} – (\sqrt{3})^3 = 3\sqrt{3} – 3\sqrt{3} = 0.$

لذا، يتضح أن القيمة القصوى للدالة هي $f(1) = 2$ عند $x = 1$، وهي الإجابة النهائية للمسألة.

لحل هذه المسألة، سنقوم بخطوات تفصيلية مستخدمين قوانين الحساب والتحليل الرياضي. الهدف هو العثور على القيمة القصوى للدالة $f(x) = 3x – x^3$ في الفترة $0 \le x \le \sqrt{3}.$

الخطوة 1: حساب الإشتقاق الأول للدالة $f(x)$:

$f'(x) = \frac{d}{dx}(3x – x^3) = 3 – 3x^2.$

الخطوة 2: حل المعادلة $f'(x) = 0$ للعثور على النقاط الحرجة:

$3 – 3x^2 = 0.$

نقوم بحل المعادلة للعثور على قيم $x$ التي تجعل $f'(x) = 0$:

$3x^2 = 3.$

$x^2 = 1.$

$x = \pm 1.$

لذا، نحن نحصل على نقطتين حرجتين $x = -1$ و $x = 1$.

الخطوة 3: تقييم الدالة في النقاط الحرجة ونقاط الحدود:

نقوم بحساب قيمة الدالة في النقاط الحرجة ونقاط الحدود:

$f(-1) = 3 – (-1)^3 = 4,$
$f(1) = 3 – 1^3 = 2,$
$f(0) = 3(0) – 0^3 = 0,$
$f(\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} – (\sqrt{3})^3 = 0.$

الخطوة 4: التحقق من قيمة الدالة على الحدود:

نحتاج أيضًا للتحقق من قيمة الدالة على الحدود ($x = 0$ و $x = \sqrt{3}$):

$f(0) = 0,$
$f(\sqrt{3}) = 0.$

الخطوة 5: اختيار القيمة القصوى:

نقارن القيم المحسوبة للدالة عند النقاط الحرجة ونقاط الحدود، ونجد أن $f(1) = 2$ هي القيمة القصوى.

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة قوانين الإشتقاق:
   $\frac{d}{dx}(a \cdot f(x)) = a \cdot \frac{d}{dx}(f(x)).$
   حيث $a$ هو ثابت.

2. قاعدة القوى:
   $\frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1}.$

3. حل المعادلات التفاضلية:
   $f'(x) = 0.$

4. تقييم الدالة:
   $f(x) = 3x – x^3.$

5. حدود الفاصلة:
   $0 \le x \le \sqrt{3}.$

من خلال مراعاة هذه القوانين، تمكنا من الوصول إلى الإجابة النهائية بشكل دقيق.