البحث عن القيمة الدنيا في تعبير رياضي (مسألة رياضيات)

البحث عن القيمة الدنيا للتعبير
$4x + \frac{1}{x^4}$
للقيم الإيجابية لـ $x.$

حل المسألة:
نبدأ بحساب الإشتقاق الأول للتعبير:
$f(x) = 4x + \frac{1}{x^4}$

$f'(x) = 4 – \frac{4}{x^5}$

ثم نحسب القيم الحرجة حيث $f'(x) = 0$:

$4 – \frac{4}{x^5} = 0$

من هذه المعادلة، نجد $x^5 = 1$

وبالتالي، $x = 1$ هي القيمة الحرجة الوحيدة.

نقوم بفحص الإشارة للإشتقاق الأول في المناطق المحيطة بالقيمة الحرجة:

1. لـ $x < 1$، نختار $x = 0.5$ كنقطة اختبار، ونجد $f’ (0.5) > 0$، إذا فإن الإشارة هي إيجابية.
2. لـ $x > 1$، نختار $x = 1.5$ كنقطة اختبار، ونجد $f’ (1.5) < 0$، إذا فإن الإشارة هي سالبة.

بناءً على النتائج أعلاه، نستنتج أن $x = 1$ هو القيمة الدنيا للتعبير $4x + \frac{1}{x^4}$.

القيمة الدنيا للتعبير هي:
$f(1) = 4 \times 1 + \frac{1}{1^4} = 5.$

إذاً، القيمة الدنيا للتعبير هي 5 وتحقق عند $x = 1.$

لحل هذه المسألة، قمنا باستخدام عدة خطوات رياضية وقوانين للتفاعل مع التعبير الرياضي. القوانين والخطوات المستخدمة تشمل:

1. حساب الإشتقاق الأول:
   استخدمنا قاعدة قوة الأس (Power Rule) لحساب الإشتقاق الأول للتعبير $4x + \frac{1}{x^4}$. وهي:
   $(x^n)’ = nx^{(n-1)}$
   حيث $n$ هو عدد حقيقي. بتطبيق هذه القاعدة، حصلنا على:
   $f'(x) = 4 – \frac{4}{x^5}$

2. حساب القيم الحرجة:
   حسبنا القيم الحرجة حيث $f'(x) = 0$. وجدنا أن $x = 1$ هي القيمة الحرجة.

3. فحص الإشارة:
   استخدمنا نقاط اختبار في المناطق المحيطة بالقيمة الحرجة ($x = 0.5$ و $x = 1.5$) لفحص الإشارة للإشتقاق الأول. هذا يعتمد على قاعدة الإشارة، حيث إذا كانت الإشارة إيجابية في إحدى المناطق فإن الدالة تزيد في تلك المنطقة، وإذا كانت سالبة فإن الدالة تنقص في تلك المنطقة.

4. تحديد القيمة الدنيا:
   بناءً على النتائج، توصلنا إلى أن $x = 1$ هي القيمة التي تحقق الإشارة السالبة للإشتقاق الأول، وبالتالي تكون القيمة الدنيا للتعبير $4x + \frac{1}{x^4}$.

5. حساب القيمة الدنيا:
   حسبنا قيمة التعبير عند $x = 1$ للوصول إلى القيمة الدنيا:
   $f(1) = 4 \times 1 + \frac{1}{1^4} = 5.$

في هذا الحل، استخدمنا مفاهيم الجبر وحساب التفاضل وقوانين الإشارة لفهم سلوك الدالة والوصول إلى القيمة الدنيا.