البحث عن القيمة الدنيا باستخدام التفاضل (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي البحث عن القيمة الدنيا للتعبير
$2 \sqrt{x} + \frac{1}{x}$
عندما يكون $x > 0$.

لحل هذه المسألة، نقوم بحساب الإشتقاق الأول للتعبير الرياضي المعطى، ونقوم بتحديد النقاط التي يكون فيها الإشتقاق الأول يساوي صفرًا أو لا يكون موجودًا. ثم نحسب قيمة التعبير في هذه النقاط، بالإضافة إلى حدوده عند $x$ تتجه إلى الصفر. بعد ذلك، نقارن هذه القيم لنحدد أيها هو الأصغر.

لنقم بحساب الإشتقاق الأول للتعبير المعطى:
$f(x) = 2 \sqrt{x} + \frac{1}{x}$

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} – \frac{1}{x^2}$

ثم نقوم بتحديد النقاط التي يكون فيها $f'(x)$ يساوي صفرًا:
$\frac{1}{\sqrt{x}} – \frac{1}{x^2} = 0$

بحل هذه المعادلة، نجد أن $x = 1$ هو النقطة الوحيدة التي يكون فيها $f'(x) = 0$. الآن، نحسب قيمة التعبير في هذه النقطة:
$f(1) = 2 \sqrt{1} + \frac{1}{1} = 3$

ثم نحسب الحد الذي يقترب $x$ من الصفر:
$\lim_{{x \to 0^+}} (2 \sqrt{x} + \frac{1}{x}) = +\infty$

المقارنة بين هذه القيم تظهر لنا أن القيمة الدنيا للتعبير هي $3$، وتتحقق عندما $x = 1$. لذلك، القيمة الدنيا للتعبير
$2 \sqrt{x} + \frac{1}{x}$
عندما $x > 0$ هي $3$، وتحدث عندما $x = 1$.

لحل المسألة والوصول إلى القيمة الدنيا للتعبير $2 \sqrt{x} + \frac{1}{x}$ عند $x > 0$, سنقوم باتباع الخطوات التالية باستخدام الحساب التفاضلي والتكاملي:

1. حساب الإشتقاق الأول:
   نقوم بحساب الإشتقاق الأول للتعبير المعطى:
   $f(x) = 2 \sqrt{x} + \frac{1}{x}$

   $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} – \frac{1}{x^2}$

2. تحديد النقاط الحرجة:
   نقوم بحل المعادلة $f'(x) = 0$ لتحديد النقاط التي يكون فيها الإشتقاق الأول يساوي صفرًا:
   $\frac{1}{\sqrt{x}} – \frac{1}{x^2} = 0$

   بحل المعادلة، نجد أن $x = 1$ هي النقطة الوحيدة.

3. حساب قيمة التعبير في النقطة الحرجة:
   نحسب قيمة التعبير في النقطة الحرجة $x = 1$:
   $f(1) = 2 \sqrt{1} + \frac{1}{1} = 3$

4. حساب الحد عند $x$ يتجه إلى الصفر:
   نحسب الحد التالي:
   $\lim_{{x \to 0^+}} (2 \sqrt{x} + \frac{1}{x}) = +\infty$

5. المقارنة واستنتاج النتيجة:
   بالمقارنة بين القيم المحسوبة، نجد أن القيمة الدنيا للتعبير تحدث عند $x = 1$ وتكون $3$.

القوانين المستخدمة في الحل تشمل:

• قاعدة القوى: $(x^a)’ = a \cdot x^{a-1}$
• قاعدة الجذور: $(\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
• قاعدة الكسور: $(\frac{1}{x})’ = -\frac{1}{x^2}$
• قاعدة التكامل: $\int x^n \,dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$

تم استخدام هذه القوانين لحساب الإشتقاق الأول والقيم المطلوبة لحل المسألة.