الباقي عند جمع أعداد صحيحة (مسألة رياضيات)

إذا كانت هناك ثلاثة أعداد صحيحة إيجابية تترك باقيًا عند القسمة على 47 بقيم 25 و20 و3 على التوالي، فما هو الباقي عند قسم مجموعها على 47؟

لنقم بتعريف الأعداد الثلاثة بـ a و b و c. إذا كانت a تترك باقيًا 25 عند القسمة على 47، و b تترك باقيًا 20، و c تترك باقيًا 3، يمكننا التعبير عن ذلك بالمعادلات التالية:

$a \equiv 25 \pmod{47}$
$b \equiv 20 \pmod{47}$
$c \equiv 3 \pmod{47}$

الآن، لنجد الباقي عند جمع هذه الأعداد وقسمها على 47. نبدأ بكتابة المعادلة الرياضية للمجموع:

$a + b + c \equiv (25 + 20 + 3) \pmod{47}$

نقوم بحساب المجموع:

$a + b + c \equiv 48 \pmod{47}$

الآن، لنجد الباقي النهائي، يمكننا تبسيط المعادلة كما يلي:

$a + b + c \equiv 1 \pmod{47}$

إذاً، الباقي عند قسم مجموع الأعداد على 47 هو 1.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم القسمة العددية وبعض القوانين المتعلقة بالباقي. سنقوم بتعريف ثلاثة أعداد صحيحة إيجابية مجهولة بالتسلسل a، b، وc. وفقًا للمعلومات المعطاة، يكون باقي كل منها كالتالي:

$a \equiv 25 \pmod{47}$
$b \equiv 20 \pmod{47}$
$c \equiv 3 \pmod{47}$

نستخدم الرموز الرياضية ($\equiv$ و $\pmod{47}$) للتعبير عن علاقة الباقي عند القسمة. الآن، نريد حساب الباقي عند جمع هذه الأعداد وقسمها على 47. يمكن تعبير ذلك بالمعادلة التالية:

$a + b + c \equiv (25 + 20 + 3) \pmod{47}$

نقوم بجمع القيم:

$a + b + c \equiv 48 \pmod{47}$

الآن، هنا تأتي القوانين المستخدمة:

1. قانون جمع الباقيات: إذا كانت $x \equiv a \pmod{m}$ و $y \equiv b \pmod{m}$، فإن $x + y \equiv (a + b) \pmod{m}$. في هذه الحالة، استخدمنا هذا القانون لجمع باقيات الأعداد.

2. تبسيط الباقي: إذا كان الباقي موجبًا وأقل من المقسوم (في هذه الحالة 47)، يمكننا تبسيطه. في هذا السياق، قمنا بتبسيط $48 \pmod{47}$ إلى $1 \pmod{47}$.

بناءً على ذلك، نصل إلى النتيجة النهائية:

$a + b + c \equiv 1 \pmod{47}$

هذا يعني أن الباقي عند قسم مجموع الأعداد على 47 هو 1. تمثل هذه النتيجة الفعلية للمسألة وتظهر كيف يمكننا استخدام قوانين القسمة والباقي لحل مشكلة معينة.