الأصفار الصحيحة للدوال التربيعية (مسألة رياضيات)

نريد أن نجد مجموع القيم الممكنة للعدد $a$ بناءً على أن الأصفار للدالة $f(x) = x^2 – ax + 2a$ هي أعداد صحيحة.

لنجد الأصفار، نستخدم الصيغة العامة لحساب الأصفار للمعادلة الثانوية:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

في حالتنا، لدينا $a = 1$، $b = -a$ و $c = 2a$.

تطبيق الصيغة يعطينا:
$x = \frac{a \pm \sqrt{a^2 – 8a}}{2}$

من المعطيات، نلاحظ أن الأصفار هي أعداد صحيحة. لذا، يجب أن يكون التعبير تحت الجذر موجبًا للحصول على أعداد صحيحة.

بما أننا نبحث عن أعداد صحيحة، فإن $a^2 – 8a$ يجب أن يكون مربعًا لعدد صحيح.
هناك عدة طرق لحل هذه المعادلة، لكن يبدو من الواضح أن الأعداد الصحيحة الإيجابية الناتجة من ضربين مجموعهما يعطي الناتج $8$ هي $2$ و $4$، ومن ثم يكون الجذر التربيعي لـ $a^2 – 8a$ يكون $2$ أو $4$.

بالتالي، لدينا اثنين من الحالات:

1. $a^2 – 8a = 4$ ؛ يؤدي إلى $a = 4, 4 – 4 = 0$.
2. $a^2 – 8a = 16$ ؛ يؤدي إلى $a = 8, 8 – 16 = -8$.

للحصول على مجموع القيم الممكنة لـ $a$ ، نجمع القيم الثنائية الممكنة: $0 + (-8) = -8$.

إذاً، الإجابة هي $-8$.

لحل المسألة، نستخدم القاعدة الأساسية لحساب الأصفار للمعادلة الثانوية والتي تُعطى بواسطة الصيغة التالية:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث أن $ax^2 + bx + c = 0$ هي المعادلة الثانوية القياسية، و$a$، $b$، و$c$ هي معاملات المعادلة.

في هذه المسألة، لدينا $f(x) = x^2 – ax + 2a$، ونريد أن نجد القيم الممكنة لـ $a$ بحيث يكون لدينا أصفارًا صحيحة.

الخطوة الأولى هي استخدام الصيغة العامة لحساب الأصفار وتطبيقها على المعادلة $f(x) = 0$، مما يعطينا:
$x = \frac{a \pm \sqrt{a^2 – 8a}}{2}$

الآن، نحتاج لضمان أن الجذر تحت الجذر (التسمى راديكال) يؤدي إلى عدد صحيح، وذلك لأننا نبحث عن أصفار صحيحة. لذا، يجب أن يكون التعبير $a^2 – 8a$ مربعًا لعدد صحيح.

من خلال تجريب القيم الممكنة لـ $a$، نجد أن الأعداد $2$ و $4$ هي الأعداد الصحيحة الإيجابية التي عند ضربها تعطي $8$. ومن ثم، يكون الجذر التربيعي لـ $a^2 – 8a$ هو $2$ أو $4$.

لحل المسألة، نحل المعادلتين التاليتين:

1. $a^2 – 8a = 4$
2. $a^2 – 8a = 16$

حل المعادلتين يعطينا قيمًا ممكنة لـ $a$ وهي $4$ و $-8$ على التوالي.

الخطوة الأخيرة هي جمع القيم الممكنة لـ $a$، وهي $4 + (-8) = -4$.

بالتالي، مجموع القيم الممكنة لـ $a$ هو $-4$.

القوانين المستخدمة في الحل هي:

1. قاعدة حساب الأصفار للمعادلة الثانوية.
2. فحص إمكانية وجود أصفار صحيحة عن طريق التحقق من أن التعبير تحت الجذر يعطي عدد صحيح.
3. استخدام العوامل الرياضية لحل المعادلات الثانوية.

هذه القوانين الرياضية تمكننا من فهم وحل المسألة بدقة وفعالية.