الأسس والقوانين: حلا لمسألة الأعداد (مسألة رياضيات)

العدد الصحيح الأكبر $e$ بحيث يكون $3^e$ عاملًا لـ $9^{10}$ هو $30$.

حل المسألة:
نعلم أن $9 = 3^2$، لذلك يمكننا كتابة $9^{10}$ على النحو التالي:
$9^{10} = (3^2)^{10} = 3^{20}$

الآن، يبدو أن القاعدة الأساسية للأعداد الأسية هي أنه عندما نقوم بضرب أساس معين في نفسه $n$ مرة، فإن الناتج يكون عبارة عن هذا العدد المرفوع للقوة $n$. في هذه الحالة، $3^2$ تم رفعها للقوة $10$، مما يؤدي إلى $3^{20}$.

إذاً، $e$ هو العدد $20$، لأن $3^{20}$ يكون عاملًا لـ $9^{10}$.

بالطبع، سنقوم بتوضيح المسألة وتقديم الحل بشكل أكثر تفصيلاً، مع الإشارة إلى القوانين الرياضية المستخدمة في الحل.

المسألة:
البحث عن أكبر عدد صحيح $e$ بحيث يكون $3^e$ عاملًا لـ $9^{10}$.

الحل:
لحل هذه المسألة، نستخدم معرفة أن $9$ يمكن تمثيلها كـ $3^2$، أي $9 = 3^2$. وبما أننا نريد أن نعرف أي عدد صحيح $e$ يجعل $3^e$ عاملاً لـ $9^{10}$، فإننا نقوم بتفكيك $9^{10}$ إلى قوة أقل باستخدام قاعدة قوانين الأسس.

نعلم أن $(a^m)^n = a^{mn}$، لذلك يمكننا تحويل $9^{10}$ كما يلي:
$9^{10} = (3^2)^{10} = 3^{2 \times 10} = 3^{20}$

هنا قمنا باستخدام قاعدة الأسس لتحويل $9^{10}$ إلى $3^{20}$. الآن، يصبح من الواضح أن $e = 20$ هو العدد الذي يجعل $3^e$ عاملاً لـ $9^{10}$.

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة قوانين الأسس: $(a^m)^n = a^{mn}$ – هذه القاعدة تستخدم لتحويل التعبيرات التي تحتوي على أسس مرفوعة لأسس آخر.

2. تمثيل $9$ كـ $3^2$: قمنا بتمثيل العدد $9$ باستخدام قاعدة أخرى للأسس.

3. ضرب الأسس للحصول على الناتج المطلوب: بعد تمثيل $9^{10}$ بشكل آخر، قمنا بضرب الأسس للحصول على الناتج النهائي $3^{20}$.