اختيار 4 كرات من 12: قوانين الترتيب والاختيار (مسألة رياضيات)

إذا كان لديك جون لديه 12 كرة زجاجية ملونة بألوان مختلفة، تتضمن واحدة حمراء وواحدة خضراء وواحدة زرقاء، كم هو عدد الطرق الممكنة لاختيار 4 كرات مع الشرط أن تكون إحدى الكرات المختارة بالضرورة إما حمراء أو خضراء أو زرقاء؟

للحساب، يمكننا استخدام مفهوم الترتيبات والاختيارات. نعلم أن هناك ثلاث طرق لاختيار الكرة الملونة (حمراء أو خضراء أو زرقاء)، ولدينا 9 كرات ملونة أخرى يمكن اختيارها للمراتب الباقية.

للاختيار الأول، لدينا 3 خيارات. للاختيار الثاني، بعد اختيار الكرة الأولى، لدينا 11 كرة باقية. الاختيار الثالث يمكن أن يكون من بين 10 كرات، والاختيار الرابع من بين 9 كرات.

لحساب الإجمال، نقوم بضرب عدد الاختيارات لكل خطوة معًا:

$3 \times 11 \times 10 \times 9 = 2970.$

إذاً، هناك 2970 طريقة ممكنة لاختيار 4 كرات من بين 12 كرة، مع الشرط أن إحدى الكرات المختارة تكون حمراء أو خضراء أو زرقاء.

بالطبع، دعنا نقوم بتوضيح الحل بمزيد من التفاصيل، مستخدمين في الوقت نفسه بعض القوانين الرياضية الأساسية.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم الترتيبات والاختيارات. يُعرف القانون الأساسي لترتيب $r$ عنصرًا من بين $n$ عناصر بالصيغة:

$P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$

حيث $n!$ تمثل عاملي العدد من 1 إلى $n$.

في هذه المسألة، لنحسب عدد الطرق الممكنة لاختيار 4 كرات من بين 12، مع الشرط أن تكون إحدى الكرات المختارة حمراء أو خضراء أو زرقاء، سنقوم بالتالي:

1. اختيار الكرة الملونة: هنا لدينا 3 خيارات ($P(3,1) = \frac{3!}{(3-1)!} = 3$).
2. اختيار الكرة الثانية من بين الكرات الملونة (بعد استخدام واحدة): لدينا 11 خيارًا ($P(11,1) = \frac{11!}{(11-1)!} = 11$).
3. اختيار الكرة الثالثة من بين الكرات الملونة (بعد استخدام اثنتين): لدينا 10 خيارات ($P(10,1) = \frac{10!}{(10-1)!} = 10$).
4. اختيار الكرة الرابعة من بين الكرات الملونة (بعد استخدام ثلاث): لدينا 9 خيارات ($P(9,1) = \frac{9!}{(9-1)!} = 9$).

ثم، نقوم بضرب عدد الاختيارات لكل خطوة:

$3 \times 11 \times 10 \times 9 = 2970$

لذلك، هناك 2970 طريقة ممكنة لاختيار 4 كرات من بين 12، مع الشرط أن تكون إحدى الكرات المختارة حمراء أو خضراء أو زرقاء.