اختيار لجنة من طلاب: حساب الاختيارات (مسألة رياضيات)

عدد الطرق الممكنة لاختيار لجنة مكونة من أربعة طلاب من مجموعة مكونة من ستة طلاب هو:

$C(6,4) = \frac{6!}{4!(6-4)!}$

حيث $C(n,k)$ هو الرمز المختصر للجمعيات أو الترتيبات الجزئية ويمثل عدد الطرق التي يمكن بها اختيار مجموعة من $k$ عناصر من مجموعة تحتوي على $n$ عنصر.

بمعنى آخر:

$C(6,4) = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 15$

إذاً، هناك 15 طريقة فريدة لاختيار لجنة مكونة من أربعة طلاب من مجموعة مكونة من ستة طلاب.

لحل المسألة، نستخدم مفهوم الجمعيات أو الترتيبات الجزئية والقوانين المتعلقة بها. القوانين المستخدمة هي:

1. قانون الجمعيات أو الترتيبات الجزئية (Combination Rule):
   إذا كان لدينا مجموعة من $n$ عناصر ونريد اختيار مجموعة فرعية من $k$ عناصر بدون اعتبار الترتيب، فإن عدد الطرق الممكنة للقيام بذلك يُمثله العدد $C(n,k)$، حيث يُحسب بالصيغة:
   $C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
   حيث $n!$ هو عامل القسمة العاملي للعدد $n$، ويمثل عدد الطرق الممكنة لترتيب $n$ عناصر، و $k!$ هو عامل القسمة العاملي للعدد $k$، ويمثل عدد الطرق الممكنة لترتيب $k$ عناصر.

2. القانون الأساسي للعوامل (Fundamental Counting Principle):
   إذا كان لدينا سلسلة من القرارات المتتالية تحتاج إلى اتخاذها، فإننا نُحسب عدد الطرق الممكنة لاتخاذ القرارات عن طريق ضرب عدد الطرق لكل قرار.

لحل المسألة:

1. أولاً، نعرف عدد الطلاب الموجودين في المجموعة وعدد الطلاب الذين نريد اختيارهم للجنة. في هذه المسألة، لدينا 6 طلاب في المجموعة ونريد اختيار لجنة تتألف من 4 طلاب.

2. ثانياً، نستخدم القانون الجمعيات أو الترتيبات الجزئية لحساب عدد الطرق الممكنة لاختيار لجنة مكونة من 4 طلاب من بين المجموعة الكاملة.

   نحسب $C(6,4)$:
   $C(6,4) = \frac{6!}{4!(6-4)!}$
   $= \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$
   $= \frac{720}{24}$
   $= 15$

3. لذا، هناك 15 طريقة ممكنة لاختيار لجنة مكونة من 4 طلاب من مجموعة تحتوي على 6 طلاب.

يتمثل الفكرة الأساسية وراء الحل في استخدام القوانين المذكورة لتحديد عدد الطرق الممكنة للقيام بالعملية المطلوبة، مع مراعاة عدم الاعتبار بالترتيب في اختيار الأعضاء للجنة.