اختيار رؤساء مشتركين: حساب الاحتمالات (مسألة رياضيات)

يوجد في نادٍ رياضي 15 عضوًا، كم عدد الطرق المختلفة لاختيار عضوين ليكونوا رئيسين مشتركين؟

لحساب عدد الطرق المختلفة لاختيار رئيسين مشتركين من بين 15 عضوًا، يمكننا استخدام صيغة الجمع المركب. الصيغة هي:

$C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

حيث $C(n, r)$ هو عدد الطرق لاختيار مجموعة من $r$ عناصر من بين مجموعة تحتوي على $n$ عنصر.

في هذه الحالة، نريد اختيار 2 رؤساء من بين 15 عضوًا، لذا يكون لدينا:

$C(15, 2) = \frac{15!}{2!(15-2)!}$

حاسبة العوامل:

$C(15, 2) = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = \frac{210}{2} = 105$

إذا كان هناك 105 طريقة مختلفة لاختيار رئيسين مشتركين من بين 15 عضوًا في النادي الرياضي.

لحل مسألة اختيار رئيسين مشتركين من بين 15 عضوًا في النادي، نحتاج إلى فهم القوانين والمفاهيم الأساسية في الاحتمالات والترتيبات.

1. قانون العدد الطبيعي:
   هذا القانون يقول أن العدد الطبيعي هو عدد يستخدم للترتيب والعدّ. في هذه المسألة، نستخدم الأعداد الطبيعية لتمثيل عدد الأعضاء وعدد الرؤساء المراد اختيارهم.

2. الترتيبات:
   الترتيبات هي طريقة تنظيم العناصر وترتيبها بشكل محدد. في هذه المسألة، نحن نريد اختيار زوج من الأعضاء ليكونا رئيسي النادي، وبالتالي نحتاج إلى معرفة عدد الطرق الممكنة لترتيب هذين العضوين.

باستخدام الصيغة الرياضية للترتيبات:
$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

حيث:

• $n$ هو عدد العناصر الكلي (عدد الأعضاء في النادي)، و
• $k$ هو عدد العناصر التي نريد اختيارها (عدد الرؤساء).

نقوم بتطبيق هذه الصيغة على المسألة على النحو التالي:

• $n = 15$ (عدد الأعضاء في النادي).
• $k = 2$ (عدد الرؤساء المراد اختيارهم).

بعد ذلك، نقوم بحساب القيمة:
$C(15, 2) = \frac{15!}{2!(15-2)!}$

ثم نقوم بالتبسيط للوصول إلى الإجابة النهائية.

بهذا الشكل، نحسب عدد الطرق الممكنة لاختيار زوج من الأعضاء ليشغلوا منصب الرئاسة المشتركة للنادي، وهو ما يمثل حل المسألة.