احتمال هطول المطر في تل أبيب: حل البنوميال (مسألة رياضيات)

فرضًا أن احتمالية هطول الأمطار في تل أبيب في أي يوم معين تبلغ 50٪، نود حساب الاحتمالية W لهطول الأمطار في تل أبيب في 4 من أصل 6 أيام عشوائية. يمكننا استخدام معامل الاحتمالية الثنائي (Binomial Probability) لحساب ذلك.

للقضاء على الحاجة للترجمة الخطوة بخطوة، سنقوم بتقديم الحل باللغة العربية مباشرة:

نستخدم معادلة احتمالية البنوميال:

$P(X=k) = \binom{n}{k} \times p^k \times (1-p)^{n-k}$

حيث:

• $P(X=k)$ هو احتمال حدوث الحدث $k$ مرات.
• $n$ هو إجمالي عدد المحاولات.
• $k$ هو العدد المطلوب من المحاولات الناجحة.
• $p$ هو احتمالية النجاح في محاولة واحدة.
• $\binom{n}{k}$ هو عبارة عن عدد الطرق الممكنة لاختيار $k$ نجاحات من بين $n$ محاولة، ويمثل عبارة “نظرية الجمع” وتُحسب بالصيغة: $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

في هذه المسألة:

• $n = 6$ (عدد الأيام الإجمالي).
• $k = 4$ (عدد الأيام التي هطلت فيها الأمطار).
• $p = 0.5$ (احتمالية هطول المطر في يوم واحد).

لحساب $\binom{6}{4}$:
$\binom{6}{4} = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

الآن، نقوم بتوصيل القيم في المعادلة:
$P(X=4) = 15 \times (0.5)^4 \times (1-0.5)^{6-4}$

الآن يمكننا حساب هذا:
$P(X=4) = 15 \times 0.0625 \times 0.0625 = 0.09375$

إذا كانت الإجابة هي 0.09375 أو 9.375٪.

بالطبع، سأوفر تفاصيل أكثر لحل المسألة بالتفصيل، وسأذكر القوانين التي تم استخدامها.

للبداية، نريد حساب احتمالية وقوع حدث معين (في هذه الحالة، هطول المطر في 4 من أصل 6 أيام) باستخدام معامل الاحتمالية الثنائي. القاعدة الرئيسية التي استخدمناها هي قاعدة احتمالية البنوميال.

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة احتمالية البنوميال:
   $P(X=k) = \binom{n}{k} \times p^k \times (1-p)^{n-k}$
   حيث:

   • $P(X=k)$ هو احتمال حدوث الحدث $k$ مرات.
   • $n$ هو إجمالي عدد المحاولات.
   • $k$ هو العدد المطلوب من المحاولات الناجحة.
   • $p$ هو احتمالية النجاح في محاولة واحدة.
   • $\binom{n}{k}$ هو عدد الطرق الممكنة لاختيار $k$ نجاحات من بين $n$ محاولة.

2. حساب عدد الطرق الممكنة:
   $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
   حيث $n!$ هو عامل التجميع (الفاكتوريال) ويعني ضرب جميع الأعداد الصحيحة الإيجابية حتى العدد $n$.

تفاصيل الحل:

1. حساب عدد الطرق الممكنة:
   $\binom{6}{4} = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

2. استخدام قاعدة احتمالية البنوميال:
   $P(X=4) = 15 \times (0.5)^4 \times (1-0.5)^{6-4}$

3. الحساب:
   $P(X=4) = 15 \times 0.0625 \times 0.0625 = 0.09375$

إذا كانت الإجابة هي 0.09375 أو 9.375٪، وهذا يعني أن هناك فقط حوالي 9.375٪ من الفرص لحدوث هطول المطر في تل أبيب في 4 من أيام الأسبوع العشوائي.