احتمال مجموع الرقمين يساوي 14 (مسألة رياضيات)

إريكا، التي تبلغ من العمر 14 عامًا، تقوم برمي عملة عادلة يظهر على وجهيها الأرقام 10 و 20، ومن ثم تضيف الرقم الظاهر على وجه العملة إلى الرقم الذي تقوم برميه على النرد القياسي. ما هي احتمالية أن يكون مجموع الرقمين يساوي عمرها بالسنوات؟ قدم إجابتك على هذا السؤال بصورة كسر عادي.

الحل:
لفهم هذه المسألة، يجب علينا أولاً أن نحدد كلا العمليتين: رمي العملة ورمي النرد. عند رمي العملة، هناك احتمال 1/2 أن تظهر 10 و1/2 أن تظهر 20. وعند رمي النرد، هناك احتمال 1/6 لظهور كل رقم من 1 إلى 6.

لحساب مجموع الرقمين، يجب علينا أن نأخذ في اعتبارنا جميع الاحتمالات الممكنة لظهور الأرقام على العملة والنرد. إذا كنا نريد أن يكون مجموعهما يساوي عمرها (14)، يمكن أن يكون السيناريو التالي هو المتكرر:

1. عملة تظهر 10 ونرد يظهر 4 (لأن 10 + 4 = 14)

بما أن هناك احتمال 1/2 لظهور 10 واحتمال 1/6 لظهور 4، يمكننا ضرب هذه الاحتمالات معًا للحصول على احتمال حدوث هذا السيناريو:

(1/2) * (1/6) = 1/12

إذا كانت هناك احتمالات أخرى (كالعملة تظهر 20 والنرد يظهر 6)، يمكننا إضافة هذه الاحتمالات أيضًا.

لحساب الاحتمال الإجمالي، يجب جمع جميع الاحتمالات المختلفة. في هذه الحالة، لدينا احتمال واحد فقط:

1/12

لذا، الإجابة هي أن احتمال أن يكون مجموع الرقمين يساوي عمرها (14) هو 1/12.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مبدأ جمم الاحتمالات. لنبدأ بتوضيح العمليتين المتداخلتين: رمي العملة ورمي النرد.

1. رمي العملة:

   • هناك احتمال 1/2 لظهور 10 واحتمال 1/2 لظهور 20.

2. رمي النرد:

   • هناك احتمال 1/6 لظهور أي رقم من 1 إلى 6.

الآن، نحن نريد حساب الاحتمال أن يكون مجموع الرقمين يساوي عمر إريكا (14). لفهم ذلك، نحن بحاجة إلى مراعاة جميع السيناريوهات التي يمكن أن تحدث هذا الحدث.

من خلال تحليل السيناريوهات الممكنة، نجد أن هناك سيناريو واحد يحقق ذلك:

• عندما تظهر العملة بوجه 10 والنرد يظهر بالرقم 4 (10 + 4 = 14).

الآن، لحساب الاحتمال الكلي، نقوم بضرب احتمال رمي العملة (1/2) في احتمال رمي النرد (1/6):

$P(\text{السيناريو المطلوب}) = P(\text{العملة تظهر 10}) \times P(\text{النرد يظهر 4})$
$P(\text{السيناريو المطلوب}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$

هذا يعني أن هناك احتمال $\frac{1}{12}$ أن يكون مجموع الرقمين يساوي عمر إريكا.

القوانين المستخدمة:

1. مبدأ جمم الاحتمالات: يتمثل في جمع الاحتمالات المختلفة لحدوث حدث معين.

2. الاحتمال المشترك: حينما يكون الحدث مكونًا من عدة عمليات مستقلة، يتم حساب الاحتمال المشترك بضرب الاحتمالات الفردية.

هذه القوانين تساعد في فهم وحساب الاحتمالات في مثل هذه المسائل الرياضية.