احتمال سحب كرتين من نفس اللون (مسألة رياضيات)

الحقيبة تحتوي على 10 كرات خضراء و8 كرات بيضاء. إذا تم سحب كرتين بشكل متزامن، فإن احتمال أن تكون كلتاهما من نفس اللون هو:

الحل:

عدد الكرات الخضراء = 10
عدد الكرات البيضاء = 8
إجمالي عدد الكرات في الحقيبة = 10 + 8 = 18

احتمال سحب كرتين خضراوين = (عدد الكرات الخضراء / إجمالي الكرات) × (عدد الكرات الخضراء – 1 / إجمالي الكرات – 1) = (10/18) × (9/17)

احتمال سحب كرتين بيضاوين = (عدد الكرات البيضاء / إجمالي الكرات) × (عدد الكرات البيضاء – 1 / إجمالي الكرات – 1) = (8/18) × (7/17)

احتمال سحب كرتين من نفس اللون = احتمال سحب كرتين خضراوين + احتمال سحب كرتين بيضاوين

أعد الحسابات:

= (10/18) × (9/17) + (8/18) × (7/17)
= (5/9) × (9/17) + (4/9) × (7/17)
= (5/17) + (4/17)
= 9/17

إذاً، الاحتمال أن تكون كلتا الكرتين من نفس اللون هو 9/17.

لحل هذه المسألة، سنعتمد على مفهوم احتمال الحدوث لحدثين مستقلين، حيث يتم سحب كرتين بشكل متزامن من الحقيبة.

القوانين المستخدمة:

1. احتمال الحدوث لحدثين مستقلين:
   إذا كانت A و B حدثين مستقلين، فإن احتمال حدوث كليهما هو احتمال حدوث A مضروبًا في احتمال حدوث B.

   $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

الآن دعونا نقوم بتفصيل الحل:

1. احتمال سحب كرتين خضراوين:
   يكون الاحتمال لسحب كرة خضراء في المرة الأولى هو (عدد الكرات الخضراء / إجمالي الكرات)، وبعد سحب كرة خضراء في المرة الأولى ينقص عدد الكرات الخضراء وإجمالي الكرات بواحد. لذلك يكون الاحتمال في المرة الثانية هو (عدد الكرات الخضراء – 1 / إجمالي الكرات – 1).

   $P(\text{سحب كرتين خضراوين}) = \frac{10}{18} \times \frac{9}{17}$

2. احتمال سحب كرتين بيضاوين:
   بنفس المنطق، يكون الاحتمال لسحب كرة بيضاء في المرة الأولى هو (عدد الكرات البيضاء / إجمالي الكرات)، وبعد سحب كرة بيضاء في المرة الأولى ينقص عدد الكرات البيضاء وإجمالي الكرات بواحد. لذلك يكون الاحتمال في المرة الثانية هو (عدد الكرات البيضاء – 1 / إجمالي الكرات – 1).

   $P(\text{سحب كرتين بيضاوين}) = \frac{8}{18} \times \frac{7}{17}$

3. احتمال سحب كرتين من نفس اللون:
   يكون الاحتمال الإجمالي لسحب كرتين من نفس اللون هو مجموع احتمال سحب كرتين خضراوين واحتمال سحب كرتين بيضاوين.

   $P(\text{سحب كرتين من نفس اللون}) = P(\text{سحب كرتين خضراوين}) + P(\text{سحب كرتين بيضاوين})$

بعد الحسابات، نجد أن:

$P(\text{سحب كرتين من نفس اللون}) = \frac{9}{17}$

إذاً، الاحتمال أن تكون كلتا الكرتين من نفس اللون هو 9/17.