احتمال حدوث ثلاث $\spadesuit$ متتالية في الدورة القياسية (مسألة رياضيات)

نمتلك مجموعة من البطاقات القياسية المكونة من 52 بطاقة، حيث تتكون هذه البطاقات من X أنواع (Ace, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Jack, Queen, King) و4 أنواع ( $\spadesuit$, $\heartsuit$, $\diamondsuit$, و $\clubsuit$). يوجد بطاقة واحدة لكل فئة ونوع. يتم ترتيب البطاقات بشكل عشوائي.

نريد حساب احتمال أن تكون البطاقات الثلاث الأولى كلها من نوع $\spadesuit$. إذاً، لدينا 13 بطاقة $\spadesuit$ في المجموع. لنحسب الاحتمال، نقوم بتقسيم عدد الطرق التي يمكن أن تحدث فيها هذه الحالة (ثلاث $\spadesuit$ متتالية) على عدد الطرق الإجمالي لترتيب الثلاث بطاقات من البطاقات الكلية.

عدد الطرق التي يمكن أن تحدث فيها هذه الحالة هو 13 × 12 × 11 (حيث أن هناك 13 طريقة لاختيار أول بطاقة $\spadesuit$، و 12 طريقة لاختيار الثانية، و 11 طريقة لاختيار الثالثة).

عدد الطرق الإجمالي لترتيب ثلاث بطاقات من البطاقات الكلية هو 52 × 51 × 50 (حيث أن هناك 52 طريقة لاختيار أول بطاقة، و 51 طريقة لاختيار الثانية، و 50 طريقة لاختيار الثالثة).

إذاً، الاحتمال هو:

$P(\text{ثلاث $\spadesuit$ متتالية}) = \frac{13 \times 12 \times 11}{52 \times 51 \times 50}$

إذاً، إذا كان الجواب معروفًا ويساوي $\frac{11}{850}$، يمكننا حل المعادلة التالية للعثور على قيمة المتغير المجهول X:

$\frac{13 \times 12 \times 11}{52 \times 51 \times 50} = \frac{11}{850}$

لحل هذه المعادلة، نقوم بضرب الطرفين في $52 \times 51 \times 50$ لتقليل الكسور:

$13 \times 12 \times 11 = \frac{11}{850} \times 52 \times 51 \times 50$

$13 \times 12 \times 11 = \frac{11 \times 52 \times 51 \times 50}{850}$

$13 \times 12 \times 11 = \frac{286200}{850}$

$13 \times 12 \times 11 = 336$

الآن نقوم بحساب قيمة المتغير X:

$X = 336$

إذاً، المتغير المجهول X يساوي 336.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم الاحتمالات وقوانين الاحتمالات المعروفة. قوانين الاحتمالات هي مجموعة من القواعد التي تساعد في حساب الاحتمالات للأحداث المختلفة. في هذه المسألة، سنستخدم قاعدة حساب الاحتمال للحالات المتجاورة (Multiplication Rule) وهي كالتالي:

$P(A \cap B \cap C) = P(A) \times P(B|A) \times P(C|A \cap B)$

حيث:

• $P(A \cap B \cap C)$ هو احتمال أن تحدث الأحداث A و B و C متجاورة.
• $P(A)$ هو احتمال حدوث الحدث A.
• $P(B|A)$ هو احتمال حدوث الحدث B بشرط أن يكون الحدث A قد حدث.
• $P(C|A \cap B)$ هو احتمال حدوث الحدث C بشرط أن يكون الحدث A و B قد حدثا.

في هذه المسألة، الأحداث A و B و C تمثل اختيار بطاقات $\spadesuit$ متتالية. لنستخدم القاعدة لحساب الاحتمال:

$P(\text{ثلاث $\spadesuit$ متتالية}) = P(\text{اختيار $\spadesuit$ الأولى}) \times P(\text{اختيار $\spadesuit$ الثانية | الأولى}) \times P(\text{اختيار $\spadesuit$ الثالثة | الأولى والثانية})$

الآن، لنقوم بتحليل كل جزء في المعادلة:

1. $P(\text{اختيار $\spadesuit$ الأولى}) = \frac{13}{52}$، حيث أن هناك 13 بطاقة $\spadesuit$ في المجموعة.

2. $P(\text{اختيار $\spadesuit$ الثانية | الأولى}) = \frac{12}{51}$، حيث أن هناك الآن 12 بطاقة $\spadesuit$ في المجموعة بعد اختيار البطاقة الأولى.

3. $P(\text{اختيار $\spadesuit$ الثالثة | الأولى والثانية}) = \frac{11}{50}$، حيث أن هناك الآن 11 بطاقة $\spadesuit$ في المجموعة بعد اختيار البطاقتين الأولى والثانية.

الآن، قم بضرب هذه القيم معًا للحصول على الإجابة النهائية:

$P(\text{ثلاث $\spadesuit$ متتالية}) = \frac{13}{52} \times \frac{12}{51} \times \frac{11}{50}$

الآن يمكننا حل هذا المعادلة للعثور على الإجابة النهائية:

$P(\text{ثلاث $\spadesuit$ متتالية}) = \frac{13 \times 12 \times 11}{52 \times 51 \times 50}$

وهي تعتبر قاعدة أساسية لحساب الاحتمالات في حالات المتجاورة.