احتمال حدوث أحداث متعددة: قسمة أعداد عشوائية على 3 و10

المطلوب حساب احتمالية حدوث الحدث A والحدث B، حيث يُمثل الحدث A أن يكون العدد ذو الرقمين العشرينيين الذي تم اختياره عشريًا قابلًا للقسمة على 3، ويُمثل الحدث B أن يكون العدد ذو الرقمين العشريينين الذي تم اختياره قابلًا للقسمة على 10.

عندما نقوم بفحص الأعداد ذات الرقمين العشريينية (من 10 إلى 99)، نجد أن الأعداد التي قابلة للقسمة على 3 هي: 12، 15، 18، 21، 24، 27، 30، 33، 36، 39، 42، 45، 48، 51، 54، 57، 60، 63، 66، 69، 72، 75، 78، 81، 84، 87، 90، 93، 96، و99.

أما الأعداد التي قابلة للقسمة على 10 في هذا النطاق، فهي: 10، 20، 30، 40، 50، 60، 70، 80، و90.

الآن، نحتاج إلى حساب عدد الأعداد التي تنتمي إلى كليهما (A و B). الأعداد التي تنتمي إلى كليهما هي تلك التي تكون قابلة للقسمة على 30، وهي: 30، 60، و90.

إذًا، احتمال حدوث الحدث A والحدث B (P(A and B)) هو عدد الأحداث الملائمة لكلا الحدثين مقسومًا على إجمالي عدد الأحداث الممكنة. وبما أن هناك 30 عددًا في الفترة من 10 إلى 99، فإن عدد الأحداث الملائمة هو 3 (30، 60، و90).

إذاً،
$P(A \cap B) = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$

لذا، احتمال حدوث الحدث A والحدث B هو $\frac{1}{10}$.

لحساب احتمالية حدوث الحدث A والحدث B، يمكننا الاعتماد على مفهوم الاحتمال واستخدام قوانين الاحتمال. في هذه المسألة، سنقوم بتوضيح الخطوات بالتفصيل وذكر القوانين المستخدمة.

الحدث A يمثل اختيار عدد ذو رقمين عشريين يكون قابلاً للقسمة على 3، والحدث B يمثل اختيار عدد ذو رقمين عشريين يكون قابلاً للقسمة على 10.

الخطوة 1: تحديد مجموعة العناصر الممكنة
نحدد مجموعة الأعداد الممكنة والتي تتراوح بين 10 و 99.

الخطوة 2: تحديد الأحداث الملائمة لكل حدث
نحدد الأعداد التي تنتمي إلى الحدث A والتي تكون قابلة للقسمة على 3، والتي هي: 12، 15، 18، …، 96، 99.

نحدد الأعداد التي تنتمي إلى الحدث B والتي تكون قابلة للقسمة على 10، والتي هي: 10، 20، 30، …، 90.

الخطوة 3: تحديد الأحداث الملائمة لكلا الحدثين
نحدد الأعداد التي تنتمي إلى كليهما، وهي الأعداد التي تكون قابلة للقسمة على 30، وهي: 30، 60، 90.

الخطوة 4: حساب الاحتمال
نستخدم قانون الاحتمال، الذي يُعبِّر عنه بالصيغة التالية:
$P(A \cap B) = \frac{\text{عدد الأحداث الملائمة لكليهما}}{\text{إجمالي عدد الأحداث الممكنة}}$

في هذه المسألة:
$P(A \cap B) = \frac{3}{30}$

القوانين المستخدمة:

1. قانون الاحتمال المعياري: يُعبِّر عن احتمال حدوث حدث ما بالنسبة لعدد النواتج الممكنة.
   $P(A) = \frac{\text{عدد النواتج الملائمة لحدث A}}{\text{إجمالي عدد النواتج الممكنة}}$

2. قانون الاحتمال المشترك (قانون الضرب): يستخدم لحساب احتمال حدوث اثنين من الأحداث معًا.
   $P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$
   حيث $P(B|A)$ هو احتمال حدوث B بشرط حدوث A. في هذه المسألة، $P(B|A)$ يكون 1 لأن القسمة على 3 تتضمن القسمة على 10 أيضًا.

باختصار، نستخدم هذه القوانين لتحديد وحساب الاحتمالات بشكل دقيق ومفصل.