احتمال الضرب السالب: تحليل رياضي

نعتبر مجموعتي $m$ و $t$ المعطاة. يتم اختيار عدد صحيح عشوائي من المجموعة $m$ وآخر من المجموعة $t$. نريد حساب احتمال أن يكون حاصل ضرب هذين العددين هو عدد سالب.

لنجد الحاصل ضرب، نأخذ أزواج الأعداد من المجموعتين ونحسب النواتج. لنتحقق من الاحتمالات المختلفة:

1. إذا تم اختيار عدد سالب من $m$ وعدد سالب من $t$، سيكون الحاصل ضرب إيجابيًا.
2. إذا تم اختيار عدد موجب من $m$ وعدد موجب من $t$، سيكون الحاصل ضرب إيجابيًا.
3. إذا تم اختيار عدد سالب من $m$ وعدد موجب من $t$، سيكون الحاصل ضرب سالبًا.
4. إذا تم اختيار عدد موجب من $m$ وعدد سالب من $t$، سيكون الحاصل ضرب سالبًا.

نركز على الحالة الثالثة والرابعة، حيث نريد أن يكون الحاصل ضرب سالبًا. لدينا احتمالين لهذه الحالة:

• اختيار عدد سالب من $m$ وعدد موجب من $t$
• اختيار عدد موجب من $m$ وعدد سالب من $t$

الآن سنحسب الاحتمال الكلي لحدوث أي من هذين الحالتين. عدد الطرق لاختيار عدد سالب من $m$ هو 3 (لأن لدينا 3 أعداد سالبة)، وعدد الطرق لاختيار عدد موجب من $t$ هو 4 (لأن لدينا 4 أعداد موجبة). إذاً:

الآن نحسب عدد الطرق لحدوث الحالة الأولى (اختيار عدد سالب من $m$ وعدد موجب من $t$)، وهو $3 \times 4 = 12$ طريقة.

ثم نحسب عدد الطرق لحدوث الحالة الثانية (اختيار عدد موجب من $m$ وعدد سالب من $t$)، وهو أيضًا $3 \times 4 = 12$ طريقة.

إجمالاً، عدد الطرق لحدوث أي من الحالتين هو $12 + 12 = 24$ طريقة.

الآن نحسب الاحتمال باستخدام الصيغة:

إذاً، الاحتمال أن يكون حاصل ضرب العددين سالبًا هو $\frac{1}{2}$.

نقوم بحل المسألة باستخدام مفهوم الاحتمالات والقوانين المتعلقة بها. سنعتمد على قوانين حساب الاحتمالات والجمع والضرب.

أولاً، نحدد الفرضيات:

1. لدينا مجموعتين $m$ و $t$ حيث يتم اختيار عدد من كل مجموعة.
2. نريد حساب احتمال أن يكون حاصل ضرب العددين سالبًا.

ثم نقوم بتحليل الحالات الممكنة:

1. اختيار عدد سالب من $m$ وعدد موجب من $t$.
2. اختيار عدد موجب من $m$ وعدد سالب من $t$.

نستخدم قوانين الجمع والضرب لحساب الاحتمال:

قانون الجمع:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$

قانون الضرب:
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$

نعلم أن احتمال اختيار عدد سالب من $m$ هو $\frac{3}{5}$، واحتمال اختيار عدد موجب من $t$ هو $\frac{4}{8}$.

1. احتمال اختيار عدد سالب من $m$ وعدد موجب من $t$:
   $P(\text{سالب من } m \cap \text{موجب من } t) = P(\text{سالب من } m) \times P(\text{موجب من } t) = \frac{3}{5} \times \frac{4}{8}$

2. احتمال اختيار عدد موجب من $m$ وعدد سالب من $t$:
   $P(\text{موجب من } m \cap \text{سالب من } t) = P(\text{موجب من } m) \times P(\text{سالب من } t) = \frac{2}{5} \times \frac{4}{8}$

ثم نستخدم قانون الجمع لجمع الاحتمالات:
$P(\text{سالب}) = P(\text{سالب من } m \cap \text{موجب من } t) + P(\text{موجب من } m \cap \text{سالب من } t)$

وبهذا يكون لدينا الإجابة النهائية. يمكن أيضًا استخدام الجمع المباشر للاحتمالات إذا كانت الحالتين متنافرتين.

القوانين المستخدمة:

1. قانون الجمع للاحتمالات.
2. قانون الضرب للاحتمالات.

تأكيد الحسابات والمراجعة الدقيقة للأعداد والاحتمالات ستؤدي إلى نفس النتائج المتوقعة.