احتمال اختيار قطعة قطر قصيرة في أوكتاغون (مسألة رياضيات)

احتمال اختيار إحدى القطوع القصيرة من بين جميع القطوع القطرية لمضلع ثماني، يمكن حسابه عبر قوانين الاحتمالات والتنظيم الهندسي. يشكل المضلع الثماني ثمانية زوايا متماثلة وثمانية قطوع قطرية تربط نقاط الرؤية المقابلة. لحساب الاحتمال المطلوب، يجب علينا مقارنة عدد القطوع القصيرة الممكن اختيارها مع إجمالي عدد القطوع القطرية.

لمعرفة عدد القطوع القطرية في مضلع ثماني، يمكن استخدام العلاقة التالية:

$\text{عدد القطوع القطرية} = \frac{n \times (n – 3)}{2}$

حيث $n$ هو عدد الأضلاع في المضلع. في هذه الحالة، $n = 8$، لذا:

$\text{عدد القطوع القطرية} = \frac{8 \times (8 – 3)}{2} = \frac{8 \times 5}{2} = 20$

المرحلة التالية تتمثل في حساب عدد القطوع القطرية القصيرة. يعتبر مضلع ثماني كل قطر فيه يربط رأسين غير متجاورين، وبما أن كل القطوع القطرية متساوية في الطول، فإن القطوع القطرية القصيرة يمكن تحديدها عند الربط بين رأسين متجاورين.

بعد حساب عدد القطوع القطرية القصيرة (8 قطع)، يمكننا حساب الاحتمال عبر العلاقة:

$\text{الاحتمال} = \frac{\text{عدد القطوع القطرية القصيرة}}{\text{عدد القطوع القطرية الكلي}} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$

إذاً، الاحتمال المطلوب هو $\frac{2}{5}$.

في حل هذه المسألة، نستخدم مفهوم القوانين الهندسية وقوانين الاحتمالات. نتعامل مع مضلع ثماني (أوكتاغون)، ونريد حساب الاحتمالات المتعلقة بالقطوع القطرية.

للبداية، نستخدم قانون يحسب عدد القطوع القطرية في مضلع بعدد $n$ أضلع، والقانون هو:

$\text{عدد القطوع القطرية} = \frac{n \times (n – 3)}{2}$

في هذه المسألة، $n = 8$ (لأننا نعامل مع أوكتاغون). لذا، نقوم بحساب:

$\text{عدد القطوع القطرية} = \frac{8 \times (8 – 3)}{2} = \frac{8 \times 5}{2} = 20$

ثم، ننتقل إلى حساب عدد القطوع القطرية القصيرة. في أوكتاغون، يمكن ربط كل رأس مع رأسين متجاورين باستخدام قطر، ونعلم أن جميع القطوع متساوية الطول. لذا، يكفي أن نحسب عدد القطوع القطرية التي تربط رأسين متجاورين، وهو 8 قطع.

الآن، نستخدم قانون الاحتمالات لحساب الاحتمال المطلوب، والقانون هو:

$\text{الاحتمال} = \frac{\text{عدد الحالات المحبذة}}{\text{إجمالي عدد الحالات}}$

في هذه المسألة:

$\text{الاحتمال} = \frac{\text{عدد القطوع القطرية القصيرة}}{\text{عدد القطوع القطرية الكلي}} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$

لذا، الاحتمال المطلوب هو $\frac{2}{5}$. في هذا الحل، استخدمنا القوانين الهندسية لحساب عدد القطوع القطرية الكلي، ثم استخدمنا قوانين الاحتمالات لحساب الاحتمال المطلوب.