احتمالية x < y x < y x < y داخل مستطيل (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
إذا تم اختيار نقطة (x، y) عشوائيًا من داخل المستطيل الذي يحدده النقاط (0، 0)، (3، 0)، (3، 2)، و (0، 2)، فما هي احتمالية أن يكون x أقل من y؟

الحل:
لحل هذه المسألة، نحتاج أولاً إلى فهم مساحة المستطيل وكيفية تحديد المنطقة التي تحقق شرط x أقل من y داخل هذا المستطيل.

مساحة المستطيل:
المستطيل محدد بواسطة أربع نقاط:
(0، 0)، (3، 0)، (3، 2)، و (0، 2)
لحساب مساحة المستطيل، يمكننا استخدام طول القاعدة مضروبًا في ارتفاعه، لذا يكون طول القاعدة هو الفارق بين x للنقطة (3 – 0) وارتفاع المستطيل هو الفارق بين y للنقطة (2 – 0)، وبالتالي مساحة المستطيل = (3 * 2) = 6 وحدة مربعة.

المنطقة التي تحقق الشرط (x < y): الشرط (x < y) يعني أن نقطة تحتاج أن تكون فوق الخط الذي يمثل معادلة x = y. هذا الخط يمثل قطر المستطيل من الزاوية (0، 0) إلى الزاوية (3، 2). بما أن المنطقة المطلوبة تكون فوق هذا الخط، فإنها تشكل مثلث بقاعدته قاعدة المستطيل (3) وارتفاعه ارتفاع المستطيل (2) مع منطقة تساوي نصف قاعدة المستطيل (1.5) ونصف ارتفاع المستطيل (1).

إذاً، مساحة المنطقة التي تحقق الشرط (x < y) هي: مساحة المثلث = (1/2) * القاعدة * الارتفاع = (1/2) * (3) * (2) = 3 وحدة مربعة.

الآن، لحساب الاحتمالية:
الاحتمالية = (مساحة المنطقة التي تحقق الشرط) / (مساحة المستطيل)
الاحتمالية = 3 / 6 = 1/2.

إذاً، الاحتمالية أن يكون x أقل من y هي 1/2.

لحل مسألة احتمالية أن يكون $x$ أقل من $y$ عند اختيار نقطة عشوائية داخل المستطيل المحدد بالنقاط $(0, 0)$، $(3, 0)$، $(3, 2)$، و $(0, 2)$، نحتاج إلى فهم القوانين المستخدمة والخطوات المتبعة في الحل.

القوانين المستخدمة:

1. قانون المساحة: يُستخدم لحساب مساحة الأشكال الهندسية المختلفة.

2. قانون الاحتمالية: يقيس فرصة حدوث حدث معين ويعبر عادة عنه كنسبة أو كسر.

الخطوات المتبعة في الحل:

1. حساب مساحة المستطيل: يتم ذلك باستخدام طول القاعدة مضروبًا في ارتفاع المستطيل.

2. تحديد المنطقة التي تحقق الشرط $x < y$ داخل المستطيل: هذا يتطلب فهم الشكل الهندسي وتحديد المنطقة التي تتواجد فيها النقاط التي تحقق هذا الشرط.

3. حساب مساحة المنطقة التي تحقق الشرط $x < y$: يتم ذلك بتطبيق قانون المساحة للشكل الهندسي الذي يمثل المنطقة المطلوبة.

4. حساب الاحتمالية: يتم ذلك بقسمة مساحة المنطقة التي تحقق الشرط على مساحة المستطيل الكلية.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين، نتوصل إلى الإجابة على المسألة بطريقة دقيقة ومفهومة.