احتمالية نقطة عشوائية داخل كرات هندسية متلاصقة (مسألة رياضيات)

لنقم بإعادة صياغة المسألة الرياضية بشكل مترجم:

لدينا هرم ثلاثي الأضلاع يحتوي على أربع وجوه مثلثة متساوية الأضلاع، وداخله كرة مدورة وحوله كرة أخرى تشكلان هرمًا مدورًا محدبًا. بالإضافة إلى ذلك، هناك كرة تلامس بشكل خارجي كل وجه من أوجه الهرم عند مركزه وتلامس الكرة المحدودة. يتم اختيار نقطة P عشوائيًا داخل الكرة المحدودة. الاحتمالية التي تكون نقطة P داخل إحدى الكرات الصغيرة الخمسة هي أقرب إلى:

$\mathrm{(أ) \ }0 \qquad \mathrm{(ب) \ }0.1 \qquad \mathrm{(ج) \ }X \qquad \mathrm{(د) \ }0.3 \qquad \mathrm{(هـ) \ }0.4$

إذا كانت الإجابة المعروفة للسؤال السابق هي 0.2، فما هي قيمة المتغير المجهول X؟

الآن، دعنا نقوم بحل المسألة:

لنحسب الاحتمالية المطلوبة. إذا كانت الإجابة هي 0.2، فإن الاحتمالية أن تكون النقطة P داخل إحدى الكرات الصغيرة هي 0.2. وبما أن هناك خمس كرات صغيرة، فإن الاحتمالية الإجمالية هي 5 مرات هذه القيمة، أي:

$X = 5 \times 0.2 = 1$

لذا، قيمة المتغير المجهول X هي 1.

لحل هذه المسألة، سنقوم بفحص الهندسة ثلاثية الأبعاد للهرم والكرات المحيطة به. سنستخدم مبدأ الهندسة الفراغية والقوانين المتعلقة بالكرات المتساقطة.

لنبدأ بالتحليل:

1. الهرم ثلاثي الأضلاع: يحتوي على أربع وجوه مثلثة متساوية الأضلاع.
2. الكرة المحدودة: تلامس جميع أوجه الهرم الخمسة وتحيط به.
3. الكرة المدورة: مركزها نفس مركز الهرم ونصف قطرها يصل إلى أحد رؤوس الهرم.
4. الكرات الصغيرة: تمثل الكرات التي تلامس بشكل خارجي كل وجه من أوجه الهرم وتلامس الكرة المحدودة.

للعثور على احتمال وجود نقطة P داخل إحدى الكرات الصغيرة، سنستخدم نسبة حجم الكرة الصغيرة إلى حجم الكرة المحدودة. نعلم أن حجم الكرة يتناسب مع مكعب نصف قطرها، لذا نستخدم نسبة حجم المكعب الناتج عن نصف قطر الكرة الصغيرة إلى حجم المكعب الناتج عن نصف قطر الكرة المحدودة.

يمكننا أيضًا استخدام نسبة المساحة السطحية للكرة الصغيرة إلى المساحة السطحية للكرة المحدودة لتحديد الاحتمالية.

القوانين المستخدمة:

1. نسبة حجم الكرة إلى حجم المكعب: $\frac{V_{\text{كرة}}}{V_{\text{مكعب}}} = \frac{4}{3\pi}$
2. نسبة المساحة السطحية للكرة إلى المساحة السطحية للمكعب: $\frac{A_{\text{كرة}}}{A_{\text{مكعب}}} = \frac{3}{r_{\text{كرة}}^2}$

الحل:
إذا كانت الإجابة 0.2، فإن الاحتمالية أن تكون نقطة P داخل إحدى الكرات الصغيرة هي 0.2. ولأن هناك خمس كرات صغيرة، فإن الاحتمالية الإجمالية هي 5 مرات هذه القيمة.

$X = 5 \times 0.2 = 1$

إذاً، قيمة المتغير المجهول X هي 1.