احتمالية مجموع الأرقام أقل من حاصل ضربهما (مسألة رياضيات)

نقوم باختيار رقمين عشوائيين من بين الأعداد الصحيحة الموجبة التي تكون أقل من أو تساوي 5. الآن، نحن بحاجة إلى معرفة الاحتمالية التي يكون فيها مجموع الرقمين أقل من حاصل ضربهما.

لنقم أولاً بتحديد جميع الأزواج الممكنة التي يمكن أن نختارها:

1. (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5)
2. (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5)
3. (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5)
4. (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5)
5. (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5)

هذا يعني أن هناك مجموعة من 25 زوجاً ممكناً.

الآن، لنحدد الأزواج التي تلبي الشرط: أن مجموع الرقمين يجب أن يكون أقل من حاصل ضربهما.

لنقم بذلك:

1. (1,1): 1 + 1 < 1 × 1 (لا يتحقق)
2. (1,2): 1 + 2 < 1 × 2 (لا يتحقق)
3. (1,3): 1 + 3 < 1 × 3 (لا يتحقق)
4. (1,4): 1 + 4 < 1 × 4 (لا يتحقق)
5. (1,5): 1 + 5 < 1 × 5 (لا يتحقق)
6. (2,1): 2 + 1 < 2 × 1 (لا يتحقق)
7. (2,2): 2 + 2 < 2 × 2 (لا يتحقق)
8. (2,3): 2 + 3 < 2 × 3 (يتحقق)
9. (2,4): 2 + 4 < 2 × 4 (يتحقق)
10. (2,5): 2 + 5 < 2 × 5 (يتحقق)
11. (3,1): 3 + 1 < 3 × 1 (لا يتحقق)
12. (3,2): 3 + 2 < 3 × 2 (لا يتحقق)
13. (3,3): 3 + 3 < 3 × 3 (لا يتحقق)
14. (3,4): 3 + 4 < 3 × 4 (يتحقق)
15. (3,5): 3 + 5 < 3 × 5 (يتحقق)
16. (4,1): 4 + 1 < 4 × 1 (لا يتحقق)
17. (4,2): 4 + 2 < 4 × 2 (لا يتحقق)
18. (4,3): 4 + 3 < 4 × 3 (لا يتحقق)
19. (4,4): 4 + 4 < 4 × 4 (لا يتحقق)
20. (4,5): 4 + 5 < 4 × 5 (يتحقق)
21. (5,1): 5 + 1 < 5 × 1 (لا يتحقق)
22. (5,2): 5 + 2 < 5 × 2 (لا يتحقق)
23. (5,3): 5 + 3 < 5 × 3 (لا يتحقق)
24. (5,4): 5 + 4 < 5 × 4 (لا يتحقق)
25. (5,5): 5 + 5 < 5 × 5 (لا يتحقق)

لذا، من بين الأزواج الـ25، هناك 6 زوج يفي بالشرط.

بالتالي، الاحتمالية المطلوبة هي عدد الأزواج التي تلبي الشرط مقسومة على إجمالي عدد الأزواج الممكنة:
$\frac{6}{25}$

وهذا هو الجواب المطلوب، ويمكن تبسيطه إذا لزم الأمر.

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى معرفة كيفية تقدير الاحتمالية التي يكون فيها مجموع الأرقام الصحيحة العشوائية أقل من حاصل ضربها.

أولاً، دعنا نحدد المتغيرات والمعادلات المهمة:

المتغيرات:

• $X$: أحد الأرقام المختارة عشوائياً.
• $Y$: الرقم الآخر المختار عشوائياً.
• $S$: مجموع الرقمين $X$ و $Y$.
• $P$: حاصل ضرب الرقمين $X$ و $Y$.

الشروط:

• نريد معرفة الاحتمالية $P(S < P)$ أي أن مجموع الأرقام يكون أقل من حاصل ضربهما.

القوانين المستخدمة:

1. قانون الاحتمالية للحالات المتساوية: في هذه المسألة، جميع الأرقام الصحيحة من 1 إلى 5 لها نفس الاحتمالية للانتقاء.
2. قوانين الحالات الناجحة والحالات الكلية: نحن نبحث عن عدد الحالات التي يكون فيها مجموع الأرقام أقل من حاصل ضربها.

الحل:
لحساب الاحتمالية المطلوبة، نحتاج إلى معرفة عدد الحالات التي تلبي الشرط وتقسيمها على عدد الحالات الكلية.

لنبدأ بحساب الحالات التي تلبي الشرط:

1. (2,3): $2 + 3 < 2 \times 3$
2. (2,4): $2 + 4 < 2 \times 4$
3. (2,5): $2 + 5 < 2 \times 5$
4. (3,4): $3 + 4 < 3 \times 4$
5. (3,5): $3 + 5 < 3 \times 5$

بالتالي، هناك 5 حالات تلبي الشرط.

الآن، لنحسب عدد الحالات الكلية:
يوجد 5 أرقام للخيار الأول (1 إلى 5) و 5 أرقام للخيار الثاني (1 إلى 5)، مما يعني أن هناك $5 \times 5 = 25$ حالة ممكنة.

لذا، الاحتمالية المطلوبة هي:
$P(S < P) = \frac{\text{عدد الحالات التي تلبي الشرط}}{\text{عدد الحالات الكلية}} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$

وهذا هو الجواب المطلوب.