احتمالية كلمة مرور بوب (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

كلمة مرور بوب تتألف من رقم مكون من خانة واحدة غير سالب متبوع بحرف ورقم آخر غير سالب (الذي قد يكون مثل الرقم الأول). ما هي الاحتمالية أن تتكون كلمة مرور بوب من رقم فردي من الأرقام المكونة من خانة واحدة تليه حرف ثم رقم إيجابي من الأرقام المكونة من خانة واحدة؟

الحل:

هناك عشرة أرقام ممكنة لتشكيل الرقم الأول (0 إلى 9)، ومن بينها خمسة أرقام فردية (1، 3، 5، 7، 9) وخمسة أرقام زوجية (0، 2، 4، 6، 8).

بما أننا نريد رقمًا فرديًا في البداية، فإن هناك خمسة احتمالات فقط (1، 3، 5، 7، 9) للاختيار من بينها للرقم الأول.

بالنسبة للحرف، هناك 26 حرفًا في اللغة الإنجليزية.

أما بالنسبة للرقم الثاني، فهو يمكن أن يكون أي من الأرقام (0 إلى 9)، لكن يجب أن يكون إيجابيًا، لذلك هناك تسعة خيارات (1 إلى 9) للرقم الثاني.

بالتالي، عدد الاحتمالات الإجمالي لتشكيل كلمة المرور بناءً على المعطيات هو عدد الاحتمالات لكل جزء منها مضروبة معًا.

عدد الاحتمالات = عدد الاحتمالات للاختيار من بين الأرقام الفردية × عدد الحروف في اللغة الإنجليزية × عدد الأرقام الإيجابية الممكنة

عدد الاحتمالات = 5 (الأرقام الفردية) × 26 (الحروف) × 9 (الأرقام الإيجابية)

عدد الاحتمالات = 5 × 26 × 9 = 1170

الآن، نحتاج إلى حساب عدد الاحتمالات التي تتوافق مع الشرط المحدد.

هذا يعني أن الرقم الأول يجب أن يكون فرديًا، والحرف يمكن أن يكون أي حرف، والرقم الثاني يجب أن يكون إيجابيًا.

عدد الاحتمالات التي تلبي هذا الشرط = عدد الأرقام الفردية الممكنة للاختيار منها × عدد الحروف في اللغة الإنجليزية × عدد الأرقام الإيجابية الممكنة

عدد الاحتمالات التي تلبي الشرط = 5 (الأرقام الفردية) × 26 (الحروف) × 9 (الأرقام الإيجابية)

عدد الاحتمالات التي تلبي الشرط = 5 × 26 × 9 = 1170

الآن، نحسب الاحتمالية من خلال قسمة عدد الاحتمالات التي تلبي الشرط على الاحتمالات الإجمالية.

الاحتمالية = (عدد الاحتمالات التي تلبي الشرط) / (عدد الاحتمالات الإجمالي)

الاحتمالية = 1170 / 1170 = 1

إذاً، الاحتمالية أن تكون كلمة مرور بوب تتكون من رقم فردي متبوع بحرف ثم رقم إيجابي هي 1.

لحل المسألة وحساب الاحتمالية، نحتاج إلى استخدام مجموعة من القوانين الأساسية في الاحتمالات. القوانين التي سنستخدمها تشمل:

1. قانون الإحتمال الكلي: ينص على أن مجموع الاحتماليات لكل النتائج الممكنة في تجربة معينة يساوي 1.

2. قانون الضرب في الاحتمالات: ينص على أن احتمالية حدوث سلسلة من الأحداث المستقلة تساوي حاصل ضرب الاحتماليات لكل حدث.

3. قانون الإحتمال الشرطي: ينص على أن احتمالية حدوث حدث مشروط على حدوث حدث آخر يمكن حسابه بقسمة احتمالية حدوث الحدثين معًا على احتمالية حدوث الحدث الشرطي.

الآن، دعنا نقوم بتطبيق هذه القوانين على المسألة:

1. لحساب الاحتمالية الإجمالية:

   • هناك 5 أرقام فردية (1، 3، 5، 7، 9) التي يمكن أن تكون في المركبة الأولى.
   • هناك 26 حرفًا في اللغة الإنجليزية يمكن استخدامها في المركبة الثانية.
   • هناك 9 أرقام إيجابية (1 إلى 9) التي يمكن أن تكون في المركبة الثالثة.
   • إذاً، عدد الاحتمالات الإجمالي = 5 (الأرقام الفردية) × 26 (الحروف) × 9 (الأرقام الإيجابية) = 1170.

2. لحساب الاحتمالية المطلوبة (حدث محدد):

   • الشرط: رقم فردي ثم حرف ثم رقم إيجابي.
   • عدد الاحتمالات التي تلبي الشرط = 5 (الأرقام الفردية) × 26 (الحروف) × 9 (الأرقام الإيجابية) = 1170.

3. الاحتمالية المطلوبة:

   • الاحتمالية = (عدد الاحتمالات التي تلبي الشرط) / (عدد الاحتمالات الإجمالي) = 1170 / 1170 = 1.

بالتالي، الاحتمالية أن تكون كلمة مرور بوب تتكون من رقم فردي متبوع بحرف ثم رقم إيجابي هي 1.