احتمالية فوز النرد الأزرق

يتم رمي نرد أزرق ونردين أحمرين. ما هي احتمالية أن يكون العدد الظاهر على النرد الأزرق دائمًا أكبر من العدد الظاهر على النردين الأحمرين؟

لنقم بترتيب النرد الثلاثة ونحسب جميع النتائج الممكنة. يمكن أن يكون للنرد الأزرق أحد القيم من 1 إلى 6، وللنردين الأحمرين قيم مماثلة. بما أن النردين الأحمرين متماثلين، سنحتسب فقط النتائج حتى تجنب التكرار.

لنفترض أن قيمة النرد الأزرق هي $X$، وقيم النردين الأحمرين هي $Y_1$ و $Y_2$. يمكننا ترتيب هذه القيم كالتالي:

الآن، نحن بحاجة إلى معرفة كم عدد من هذه الحالات حيث $X > Y_1$ و $X > Y_2$.

إذا كان $X = 1$، يمكن أن يكون $Y_1$ و $Y_2$ أي قيمة بين 1 و 6، إذا كانت هناك 6 حالات ممكنة لكل قيمة من $Y_1$ و $Y_2$. وهكذا نستمر بالتحقق من جميع القيم الممكنة لـ $X$، ونجمع عدد الحالات التي تفي بالشرط.

إذاً، الإجابة تكون مجموع الحالات الملائمة مقسومًا على إجمالي عدد الحالات الممكنة.

لنقم بفحص الإجابة بتفصيل أكبر وذلك باستخدام قوانين الاحتمالات. في هذه المسألة، نريد حساب الاحتمالية التي يكون فيها العدد الظاهر على النرد الأزرق دائمًا أكبر من العددين الظاهرين على النردين الأحمرين.

لنحسب عدد الحالات الملائمة والحالات الإجمالية:

الحالات الملائمة:

• عندما يكون عدد النرد الأزرق (X) هو 1، هنا يمكن أن يكون للنردين الأحمرين (Y1، Y2) أي قيمة من 1 إلى 6. لذا، هناك 6 حالات ملائمة لكل قيمة من Y1 و Y2.
• يتم تكرار هذا لكل قيمة من X (من 2 إلى 6).

إذاً، عدد الحالات الملائمة = 6 (لكل قيمة من X) × 6 (لكل قيمة من Y1) × 6 (لكل قيمة من Y2) = 6 * 6 * 6 = 216

الحالات الإجمالية:

• هناك 6 قيم ممكنة لكل من X، Y1، و Y2. لذا، عدد الحالات الإجمالية = 6 * 6 * 6 = 216

الآن، لحساب الاحتمالية، نقوم بتقسيم عدد الحالات الملائمة على الحالات الإجمالية:

$\text{الاحتمالية} = \frac{\text{عدد الحالات الملائمة}}{\text{عدد الحالات الإجمالية}} = \frac{216}{216} = 1$

إذاً، الاحتمالية أن يكون العدد الظاهر على النرد الأزرق دائمًا أكبر من العددين الظاهرين على النردين الأحمرين هي 1، وهذا يعني أن الحدث مؤكد وستحدث دائمًا.

القوانين المستخدمة:

1. قانون الإجمال: عندما يكون لدينا عدة خيارات مستقلة لحدوث حدث، نستخدم ضرب الاحتمالات لحساب إجمال الاحتمال.
2. قانون التكرار: عندما يكون لدينا حدث يمكن تكراره بنفس الطريقة، نستخدم قوانين التكرار لحساب عدد الحالات الممكنة.