احتمالية ضرب أعداد فردية وزوجية (مسألة رياضيات)

نفترض اختيار عددين صحيحين متميزين من بين الأعداد 5 و17، بما في ذلك هاتين العددتين. ما هي احتمالية أن يكون حاصل ضربهما فرديًا؟

لحساب الاحتمالية، يمكننا أولاً تحديد عدد الطرق الممكنة لاختيار العددين ومن ثم تحديد عدد الطرق التي يكون فيها حاصل الضرب فرديًا.

هناك 13 عددًا صحيحًا بين 5 و17، وبما أننا نختار عددين متميزين، يكون لدينا مجموعة من 13 * 12 = 156 طريقة للاختيار.

لحساب عدد الطرق التي يكون فيها حاصل الضرب فرديًا، يجب أن نفكر في الخصائص التي تجعل الضرب فرديًا. إذا كان أحد العددين فرديًا، فإن حاصل الضرب سيكون فرديًا بغض النظر عن العدد الآخر. لدينا 7 أعداد فردية بين 5 و17، لذا يمكن اختيار أحدها بست طرق.

على الجانب الآخر، إذا كانت كلا العددين زوجيين، فإن حاصل الضرب سيكون زوجيًا. لدينا 6 أعداد زوجية بين 5 و17، ويمكن اختيار أحدها بست طرق.

إذاً، إجمالاً، لدينا 7 + 6 = 13 طريقة لاختيار العددين بحيث يكون حاصل الضرب فرديًا.

الآن، نحسب الاحتمالية باستخدام العلاقة:

$P(\text{حاصل الضرب فردي}) = \frac{\text{عدد الطرق حيث يكون حاصل الضرب فرديًا}}{\text{إجمال عدد الطرق}}$

$P(\text{حاصل الضرب فردي}) = \frac{13}{156}$

إذاً، الاحتمالية أن يكون حاصل ضرب العددين فرديًا هي $\frac{13}{156}$.

لحل هذه المسألة، سنعتمد على مفهوم الأعداد الفردية والأعداد الزوجية، وسنستخدم مفهوم الاحتمالية. لنبدأ بتحليل الوضع:

1. اختيار الأعداد:

   • لدينا 13 عددًا بين 5 و17، ونحن نختار عددين متميزين.
   • عدد الطرق لاختيار العددين هو $13 \times 12$، لأننا نستبعد العدد نفسه في الاختيار الثاني.

2. تحديد حاصل الضرب:

   • إذا كان أحد العددين فرديًا، فإن حاصل الضرب سيكون فرديًا.
   • إذا كان العددين كلاهما زوجيًا، فإن حاصل الضرب سيكون زوجيًا.

3. الأعداد الفردية والزوجية:

   • لدينا 7 أعداد فردية بين 5 و17 (5، 7، 9، 11، 13، 15، 17).
   • لدينا 6 أعداد زوجية بين 5 و17 (6، 8، 10، 12، 14، 16).

4. حساب الاحتمالية:

   • الطرق لاختيار عددين فرديين هو $7 \times 6$، لأنه يمكن اختيار أي من الأعداد الفردية في الاختيار الأول وأي من الأعداد الفردية المتبقية في الاختيار الثاني.
   • الطرق لاختيار عددين زوجيين هو $6 \times 5$، لنفس السبب.
   • إجمالًا، عدد الطرق لاختيار عددين بحيث يكون حاصل الضرب فرديًا هو $7 \times 6 + 6 \times 5$.

5. حساب الاحتمالية:

   • نقوم بتقسيم عدد الطرق حيث يكون حاصل الضرب فرديًا على إجمالي عدد الطرق للاختيار.
   • الاحتمالية = $\frac{7 \times 6 + 6 \times 5}{13 \times 12}$.

6. التبسيط:

   • يمكن تبسيط هذه النسبة للحصول على الإجابة النهائية.

القوانين المستخدمة:

• ضرب الأعداد:
  • حيث استخدمنا القاعدة التي تنص على أن عدد الطرق لحدوث حدثين متسلسلين هو حاصل ضرب عدد الطرق لكل حدث على حدة.
• تحديد الأعداد الفردية والزوجية:
  • حيث استخدمنا فهم الخصائص التي تجعل الضرب فرديًا أو زوجيًا.
• احتمال الحدوث:
  • حيث استخدمنا النسبة بين عدد الطرق لحدوث الحدث المطلوب وإجمالي عدد الطرق الممكنة.