احتمالية سحب كرتين ذات أرقام زوجية

المسألة الرياضية تتعلق بـ 17 كرة مرقمة من 1 إلى 17. يتم سحب كرة ومن ثم يتم سحب كرة أخرى بدون استبدال. ما هي احتمالية أن تكون كلتا الكرتين لهما أرقام زوجية؟

حسنًا، لنقم بإعادة صياغة المسألة بشكل مبسط. لدينا 17 كرة مرقمة من 1 إلى 17، ونقوم بسحب كرة واحدة، ثم نقوم بسحب كرة أخرى دون إعادة الكرة الأولى. السؤال هو: ما هي الاحتمالية أن تكون كلتا الكرتين لهما أرقام زوجية؟

لحساب هذه الاحتمالية، يجب أولاً أن نحدد مجموع الكرات ذات الأرقام الزوجية ومن ثم نقسمها على إجمالي عدد الكرات. هناك 9 كرات ذات أرقام زوجية (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 17)، وإجمالي الكرات هو 17.

لذلك، احتمالية أن تكون الكرة الأولى ذات رقم زوجي هي 9/17. الآن، بعد سحب الكرة الأولى، تبقى 16 كرة، ومنها 8 كرات ذات أرقام زوجية. لذلك، احتمالية أن تكون الكرة الثانية ذات رقم زوجي بعد سحب الأولى هي 8/16، أو ببساطة 1/2.

لحساب الاحتمالية الكلية لحدوث الحدثين متتاليين (سحب كرة ذات رقم زوجي ثم سحب أخرى أيضًا ذات رقم زوجي)، نقوم بضرب احتمالي الحدثين. لذلك، الاحتمالية الكلية هي:

$\frac{9}{17} \times \frac{1}{2} = \frac{9}{34}$

إذاً، الاحتمالية أن تكون كلتا الكرتين لهما أرقام زوجية هي $\frac{9}{34}$.

بالطبع، دعنا نقوم بتوسيع الشرح وذلك باستخدام القوانين الأساسية لحساب الاحتماليات. لنحل هذه المسألة، سنستخدم قانون الضرب وقانون الإحتمال الشرطي.

لنبدأ بتحديد الأحداث الممكنة واحتمالاتها. لدينا اثنتان من الأحداث:

الحدث A: الكرة الأولى تكون ذات رقم زوجي.
الحدث B: الكرة الثانية تكون ذات رقم زوجي بعد سحب الكرة الأولى.

أولًا، سنحسب احتمال الحدث A، وهو سحب كرة ذات رقم زوجي في السحب الأول. لدينا 9 كرات ذات أرقام زوجية من إجمالي 17 كرة، لذا:

$P(A) = \frac{9}{17}$

الآن، بعد سحب الكرة الأولى ودون إعادتها، سنحسب احتمال الحدث B، وهو أن تكون الكرة الثانية ذات رقم زوجي. في هذه المرحلة، لدينا 16 كرة بدلاً من 17، و 8 منها ذات أرقام زوجية، لذا:

$P(B|A) = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

الآن، بموجب قانون الضرب، نقوم بضرب احتمالية الحدثين A و B معًا للحصول على الاحتمالية الكلية لحدوث الحدثين متتاليين:

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$

$P(A \cap B) = \frac{9}{17} \times \frac{1}{2} = \frac{9}{34}$

لذا، وفقًا لقوانين الاحتمال، الاحتمالية أن تكون كلتا الكرتين لهما أرقام زوجية هي $\frac{9}{34}$.