احتمالية حدوث أحداث مستقلة في رمي النرد

إذا تم رمي زوجين من النرد معًا، فما هي احتمالية الحصول على رقم زوجي على وجه ورقة ورقم فردي على وجه ورقة النرد الأخرى؟

الحل:
لفهم الاحتمالية المطلوبة، يجب أولاً أن نحدد الأحداث الملائمة للشرط المطلوب. للحصول على رقم زوجي، يمكن أن يكون الرقم إما 2 أو 4 أو 6، بينما يمكن أن يكون الرقم الفردي 1 أو 3 أو 5.

لنحسب عدد الطرق الممكنة للحصول على هذه النتائج:

1. إذا كانت الوجوه الزوجية للنرد هي 2 و 4 و 6، والوجوه الفردية هي 1 و 3 و 5، فإن هناك 3 طرق ممكنة للحصول على وجه زوجي ووجه فردي (3 × 3 = 9).
2. عدد الطرق الممكنة للحصول على وجه زوجي ووجه فردي هو 9.

ثم يمكننا حساب إجمالي عدد الطرق الممكنة لرمي الزوج من النرد، والذي هو 6 × 6 = 36 طريقة.

الآن، نقسم عدد الطرق الملائمة على إجمالي الطرق الممكنة للحصول على الاحتمالية:
$P(\text{رقم زوجي ورقم فردي}) = \frac{عدد الطرق الممكنة}{إجمالي الطرق الممكنة}$
$P(\text{رقم زوجي ورقم فردي}) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$

إذاً، احتمالية الحصول على رقم زوجي على وجه ورقة ورقم فردي على وجه ورقة النرد الأخرى هي 1/4.

بالطبع، سنقوم بتوضيح أكثر وذلك باستخدام قوانين الاحتمالات في حل المسألة. لنركز على القوانين المستخدمة ونقدم تفاصيل أكثر:

1. قانون الإحتمال:
   يعبر عن الاحتمالية بين 0 و1، حيث 0 يعني “لا احتمال” و1 يعني “احتمال تام”. إذا كانت $P(A)$ هي احتمالية حدوث حدث A، فإن القانون يقول أن $0 \leq P(A) \leq 1$.

2. قانون الإحتمال للأحداث المستقلة:
   إذا كانت حوادث A و B مستقلتين، فإن احتمالية حدوث كلتا الحوادث معًا تكون المنتج الحاصل من احتمالي كل حدث على حدة. لو أعيد صياغة ذلك، فإن:
   $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

الآن، لنحسب الاحتمالية المطلوبة:

للحصول على وجه زوجي على وجه أحد النرد، هناك 3 وجوه زوجية من إجمالي 6 وجوه. وبالتالي:
$P(\text{وجه زوجي}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

بنفس الطريقة، للحصول على وجه فردي، هناك 3 وجوه فردية. إذاً:
$P(\text{وجه فردي}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

الآن، وحينما نريد الحصول على وجه زوجي على وجه ورقة ووجه فردي على وجه ورقة النرد الأخرى (أحداث مستقلة):
$P(\text{وجه زوجي ووجه فردي}) = P(\text{وجه زوجي}) \times P(\text{وجه فردي})$
$P(\text{وجه زوجي ووجه فردي}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

إذاً، وباستخدام قوانين الاحتمالات واستناداً إلى مفهوم الأحداث المستقلة، نجد أن احتمالية الحصول على رقم زوجي على وجه ورقة ورقم فردي على وجه ورقة النرد الأخرى هي 1/4.