احتمالية حاصل ضرب أرقام العدد

يتم اختيار عدد صحيح موجب من ثلاثة أرقام عشوائياً. ما هي الاحتمالية التي يكون إنتاج حاصل ضرب أرقامه زوجيًا؟

لحل هذه المسألة، دعونا نقوم بتحليل جميع السيناريوهات الممكنة للأعداد المكونة من ثلاثة أرقام:

1. الحالة الأولى: جميع الأرقام فردية
   في هذه الحالة، يمكن أن تكون الأرقام هي {1، 3، 5، 7، 9}. ومن ثم، فإن إنتاج الأرقام (الضرب) سيكون زوجيًا إذا كانت الأرقام تحتوي على عدد زوج من الأصفار، وهذا لا يحدث في هذه الحالة.

2. الحالة الثانية: رقم واحد فقط زوجي
   في هذه الحالة، يمكن أن يكون أحد الأرقام زوجيًا (0، 2، 4، 6، 8). الأرقام الأخرى يجب أن تكون فردية. لكي يكون إنتاج الأرقام زوجيًا، يجب أن يحتوي الرقم الزوجي على عدد زوج من الأصفار. يمكن أن يحدث هذا بخمس طرق:

   • الرقم الزوجي في المئات (من 1 إلى 9) والعدد الأول الفردي في العشرات (من 1 إلى 9) والعدد الثاني فردي.
   • الرقم الزوجي في المئات والعدد الأول فردي والعدد الثاني الفردي.
   • وهكذا…

3. الحالة الثالثة: جميع الأرقام زوجية
   في هذه الحالة، يمكن أن تكون الأرقام هي {0، 2، 4، 6، 8}. وبما أن كل الأرقام زوجية، فإن إنتاجها سيكون زوجيًا.

الآن، لنحسب الإحتماليات. هناك 9 أرقام فردية (1 إلى 9) و 5 أرقام زوجية (0، 2، 4، 6، 8). لذا، إجمالاً، هناك $9 \times 5 \times 5 = 225$ عدد ممكن (لأن هناك ثلاثة أرقام).

1. الحالة الأولى:

   • لا توجد أرقام زوجية، لذا الإحتمال هو $0$.

2. الحالة الثانية:

   • هناك 5 طرق لاختيار الرقم الزوجي في المئات.
   • هناك 4 طرق لاختيار الرقم الأول فردي في العشرات.
   • هناك 5 طرق لاختيار الرقم الثاني الفردي.
   • إجمالاً، هناك $5 \times 4 \times 5 = 100$ عدد.

3. الحالة الثالثة:

   • هناك 5 طرق لاختيار الرقم الزوجي في المئات.
   • هناك 5 طرق لاختيار الرقم الزوجي في العشرات.
   • هناك 5 طرق لاختيار الرقم الزوجي في الوحدات.
   • إجمالاً، هناك $5 \times 5 \times 5 = 125$ عدد.

الإحتمال الكلي هو مجموع الإحتمالات لكل حالة ممكنة مقسومًا على العدد الإجمالي للأعداد الممكنة:
$P = \frac{0 + 100 + 125}{225} = \frac{225}{225} = 1$

إذا كانت الإحتمالية أن يكون حاصل ضرب أرقام العدد زوجيًا هي 1.

بالتأكيد، دعونا نقوم بتوضيح أكثر وذلك باستخدام قوانين حساب الاحتمال.

أولًا، لنقم بتحليل القوانين المستخدمة:

1. قانون ضرب الاحتمالات:
   ينطبق هذا القانون عندما نريد حساب احتمالية حدوث سلسلة من الأحداث المستقلة. إذا كانت $A$ و $B$ حوادث مستقلة، فإن احتمال حدوث كلاهما هو $\text{P}(A \cap B) = \text{P}(A) \times \text{P}(B)$.

2. قانون الجمع:
   يستخدم هذا القانون لحساب احتمال حدوث إحدى عدة أحداث ممكنة. إذا كانت $A$ و $B$ حوادث متعددة يمكن أن تحدث إحداها، فإن احتمال حدوث إحداهما هو $\text{P}(A \cup B) = \text{P}(A) + \text{P}(B)$، مع الشرط أن تكون الأحداث غير متقاطعة (يمكن أن تحدث إحداها دون الأخرى).

الآن، لنقم بتفصيل الحل:

1. حالة جميع الأرقام فردية:
   في هذه الحالة، الأرقام الممكنة هي {1، 3، 5، 7، 9}. إنتاج الأرقام زوجي يتطلب وجود عدد زوج من الأصفار. وحيث أن جميع الأرقام هنا فردية، فإنتاج الأرقام زوجي غير ممكن. لذلك، $\text{P}(A) = 0$.

2. حالة رقم واحد فقط زوجي:
   في هذه الحالة، يمكن أن يكون أحد الأرقام زوجيًا (0، 2، 4، 6، 8). للحصول على إنتاج زوجي، يجب أن يحتوي الرقم الزوجي على عدد زوج من الأصفار. يمكن تحقيق ذلك بخمس طرق، لذلك $\text{P}(B) = \frac{5 \times 4 \times 5}{5 \times 5 \times 5} = \frac{4}{5}$.

3. حالة جميع الأرقام زوجية:
   في هذه الحالة، الأرقام الممكنة هي {0، 2، 4، 6، 8}. جميعها زوجية، لذا إنتاج الأرقام سيكون زوجيًا بالتأكيد. لذلك، $\text{P}(C) = 1$.

الآن، لحساب الإحتمال الكلي:

$\text{P}(\text{إنتاج حاصل ضرب زوجي}) = \text{P}(A \cup B \cup C)$
$= \text{P}(A) + \text{P}(B) + \text{P}(C)$
$= 0 + \frac{4}{5} + 1$
$= \frac{9}{5}$

ومن ثم، الإحتمال أن يكون حاصل ضرب أرقام العدد زوجيًا هو $\frac{9}{5}$.