احتمالية توزيع الجنس لأطفال السيد جونز (مسألة رياضيات)

يمتلك السيد جونز 6 أطفال. بناءً على افتراض أن جنس كل طفل يتم تحديده بشكل مستقل وباحتمال متساوٍ للذكور والإناث، فما هي احتمالية أن يكون لدى السيد جونز عدد أكبر من الأبناء من عدد البنات أو عكس ذلك؟

لنقم بحساب الاحتمالية التي يكون فيها لدى السيد جونز عدد أكبر من الأبناء من عدد البنات أو عكس ذلك.

سنقوم أولاً بإيجاد جميع السيناريوهات الممكنة للأبناء. يمكن أن يكون لدى السيد جونز مجموعات من الأبناء تتضمن:

1. 6 أبناء ولا بنات.
2. 5 أبناء و1 بنت.
3. 4 أبناء و2 بنات.
4. 3 أبناء و3 بنات.
5. 2 أبناء و4 بنات.
6. 1 ابن و5 بنات.
7. 6 بنات ولا أبناء.

الآن، سنحسب احتمال كل سيناريو:

1. سيناريو 1: (السيناريو حيث يكون لديه 6 أبناء ولا بنات)

   الاحتمالية: $P(6\ sons) = (\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$

2. سيناريو 2: (السيناريو حيث يكون لديه 5 أبناء وبنت واحدة)

   الاحتمالية: $P(5\ sons\ and\ 1\ daughter) = \binom{6}{5} \times (\frac{1}{2})^5 \times (\frac{1}{2})^1 = 6 \times \frac{1}{32} = \frac{3}{16}$

3. سيناريو 3: (السيناريو حيث يكون لديه 4 أبناء وبنتان)

   الاحتمالية: $P(4\ sons\ and\ 2\ daughters) = \binom{6}{4} \times (\frac{1}{2})^4 \times (\frac{1}{2})^2 = 15 \times \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

4. سيناريو 4: (السيناريو حيث يكون لديه 3 أبناء و3 بنات)

   الاحتمالية: $P(3\ sons\ and\ 3\ daughters) = \binom{6}{3} \times (\frac{1}{2})^3 \times (\frac{1}{2})^3 = 20 \times \frac{1}{8} = \frac{5}{8}$

5. سيناريو 5: (السيناريو حيث يكون لديه 2 أبناء و4 بنات)

   الاحتمالية: $P(2\ sons\ and\ 4\ daughters) = \binom{6}{2} \times (\frac{1}{2})^2 \times (\frac{1}{2})^4 = 15 \times \frac{1}{64} = \frac{15}{64}$

6. سيناريو 6: (السيناريو حيث يكون لديه ابن و5 بنات)

   الاحتمالية: $P(1\ son\ and\ 5\ daughters) = \binom{6}{1} \times (\frac{1}{2})^1 \times (\frac{1}{2})^5 = 6 \times \frac{1}{64} = \frac{3}{32}$

7. سيناريو 7: (السيناريو حيث يكون لديه 6 بنات ولا أبناء)

   الاحتمالية: $P(6\ daughters) = (\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$

الآن، سنجمع جميع الاحتمالات للحالات التي تحقق شرط أن يكون لديه عدد أكبر من الأبناء من عدد البنات أو عكس ذلك:

الحالات التي يكون لديه عدد أكبر من الأبناء من عدد البنات:

الآن، سنطرح هذه القيمة من 1 للحصول على الاحتمالية المطلوبة:

إذاً، الاحتمالية أن يكون لدى السيد جونز عدد أكبر من الأبناء من عدد البنات أو عكس ذلك هي $\frac{1}{64}$.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتطبيق مبدأ الاحتمالات وبعض القوانين الأساسية لحساب الاحتمالات. القوانين المستخدمة تتضمن:

1. مبدأ الاحتمالات: هو المبدأ الذي يقول بأن الاحتمالية هي نسبة عدد النتائج المرجوة إلى عدد النتائج الإجمالي.

2. قاعدة الجمع للأحداث المتعارضة: إذا كانت A و B حدثين متعارضين (لا يمكن أن يحدثا معًا)، فإن الاحتمالية الإجمالية لحدوث A أو B هي مجموع احتماليات كل حدث منفردًا.

3. قاعدة الضرب للأحداث المستقلة: إذا كانت A و B حدثين مستقلين (لا يتأثر حدوث أحدهما بحدوث الآخر)، فإن الاحتمالية الإجمالية لحدوث كلاهما هي حاصل ضرب احتماليات حدوث كل حدث منفردًا.

4. قاعدة الاحتمالات للأحداث المتسلسلة: عندما يكون الحدث الثاني مرتبطًا بالحدث الأول، فإن الاحتمالية الإجمالية لحدوث الحدثين متسلسلة هي حاصل ضرب الاحتمالية لكل حدث منفردًا.

الآن، سنقوم بحساب الاحتمالية بناءً على عدد الأطفال والجنس الذي يمكن أن يكون لكل واحد منهم. لدينا 6 أطفال ولكل طفل احتمالية 1/2 لكونه ذكر أو أنثى.

نبدأ بحساب الاحتمالات:

1. السيناريو حيث يكون لديه 6 أبناء ولا بنات:

   $$P(6\ sons) = \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{64}$$

2. السيناريو حيث يكون لديه 5 أبناء وبنت واحدة:

   $$P(5\ sons\ and\ 1\ daughter) = \binom{6}{5} \times \left(\frac{1}{2}\right)^5 \times \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 6 \times \frac{1}{32} = \frac{3}{16}$$

3. السيناريو حيث يكون لديه 4 أبناء وبنتان:

   $$P(4\ sons\ and\ 2\ daughters) = \binom{6}{4} \times \left(\frac{1}{2}\right)^4 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 15 \times \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$$

4. السيناريو حيث يكون لديه 3 أبناء و3 بنات:

   $$P(3\ sons\ and\ 3\ daughters) = \binom{6}{3} \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 20 \times \frac{1}{8} = \frac{5}{8}$$

5. السيناريو حيث يكون لديه 2 أبناء و4 بنات:

   $$P(2\ sons\ and\ 4\ daughters) = \binom{6}{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 15 \times \frac{1}{64} = \frac{15}{64}$$

6. السيناريو حيث يكون لديه ابن و5 بنات:

   $$P(1\ son\ and\ 5\ daughters) = \binom{6}{1} \times \left(\frac{1}{2}\right)^1 \times \left(\frac{1}{2}\right)^5 = 6 \times \frac{1}{64} = \frac{3}{32}$$

7. السيناريو حيث يكون لديه 6 بنات ولا أبناء:

   $$P(6\ daughters) = \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{64}$$

ثم، نجمع الاحتمالات للحالات التي تحقق شرط أن يكون لديه عدد أكبر من الأبناء من عدد البنات أو عكس ذلك:

أخيرًا، نطرح هذه القيمة من 1 للحصول على الاحتمالية المطلوبة: