احتمالية تكوين مربع بمحيط أكبر (مسألة رياضيات)

يتم قطع سلك طوله 11 مترًا إلى قسمين. إذا استخدم القسم الأطول لتكوين محيط مربع، ما هي احتمالية أن يكون مساحة المربع أكبر من 4 إذا تمت عملية القطع في نقطة عشوائية؟

لنقم بتحليل المسألة:
فلنفترض أن السلك الأصلي الذي يبلغ طوله 11 مترًا يتم قطعه عند نقطة معينة. سنقسم هذا السلك إلى قسمين، ولنكن x هو الطول الذي يتم قطعه للقسم الأول. بالتالي، الطول الذي يتم قطعه للقسم الثاني سيكون (11 – x) مترًا.

إذاً، لدينا الآن قسمين من السلك، وسنستخدم القسم الأطول لتشكيل محيط المربع. المحيط P للمربع يعطى بالعلاقة:

$P = 4s$

حيث $s$ هو طول ضلع المربع. ونعلم أن القسم الأطول يساوي $s$، لذا:

$s = 11 – x$

الآن نستخدم هذا في المعادلة السابقة:

$P = 4(11 – x)$

المطلوب أن تكون مساحة المربع أكبر من 4. مساحة المربع تعطى بالعلاقة:

$A = s^2$

ونعلم أن $s = 11 – x$، لذا:

$A = (11 – x)^2$

الآن نحدد الشروط التي يجب أن تتحقق لضمان أن مساحة المربع أكبر من 4:

$(11 – x)^2 > 4$

لنحل هذه المعادلة:

$121 – 22x + x^2 > 4$

$x^2 – 22x + 117 > 0$

الحل لهذه المعادلة يكون عندما يكون الجذر التربيعي للجزء اليميني أقل من $0$، لذا:

$(22)^2 – 4(1)(117) < 0$

$484 – 468 < 0$

$16 < 0$

وهذا يعني أن المعادلة غير قابلة للحل. لذا، يكون الشرط محققًا لأي قيمة تختارها لـ $x$.

إذاً، الاحتمالية هي $1$، أي أن هناك تأكيد بنسبة $100\%$ أن مساحة المربع ستكون أكبر من $4$ عند اختيار نقطة قطع عشوائية على السلك الأصلي.

لنقم بتوضيح أكثر حول حل المسألة والقوانين المستخدمة في هذا السياق.

المسألة تدور حول قطع سلك طوله 11 مترًا لتكوين مربع. لنقم بفرض أن السلك يتم قطعه عند نقطة معينة، ونقسمه إلى قسمين: قسم أول بطول $x$ متر وقسم ثاني بطول $(11 – x)$ متر.

نريد حساب احتمالية أن يكون محيط المربع الذي تم تكوينه باستخدام القسم الأطول أكبر من 4. لفهم هذا، نستخدم القوانين التالية:

1. المحيط الذي يتكون من القسم الأطول:
   $P = 4s$
   حيث $s$ هو طول ضلع المربع، وفي هذه الحالة يكون $s = 11 – x$.

2. حساب مساحة المربع:
   $A = s^2$
   وهنا $s = 11 – x$.

3. الشرط لأن تكون مساحة المربع أكبر من 4:
   $A > 4$

بالتالي، نحصل على المعادلة:
$(11 – x)^2 > 4$

ونقوم بفتح هذه المعادلة وحساب الشروط التي تحقق الناتج. العملية الرياضية تؤدي إلى:
$x^2 – 22x + 117 > 0$

ونستخدم قاعدة الجذر للتحقق من شروط الحل:
$(b^2 – 4ac) < 0$

في هذه الحالة:
$(22)^2 – 4(1)(117) < 0$

وبحسب الحساب:
$484 – 468 < 0$
$16 < 0$

وهو أمر مستحيل. هذا يعني أن المعادلة لا تحقق جذرين حقيقيين، وبالتالي أي قيمة نختار لـ $x$ ستحقق الشرط. لذا، الاحتمالية هي 1 أو $100\%$، وهو تأكيد بأن مساحة المربع ستكون أكبر من 4 بغض النظر عن نقطة القطع على السلك الأصلي.