احتمالية تطابق لون الكرات (مسألة رياضيات)

يوجد ست كرات خضراء وأربع كرات حمراء في كيس. يتم سحب كرة من الكيس وتسجيل لونها، ثم يوضع الكرة مرة أخرى في الكيس. ثم يتم سحب كرة ثانية وتسجيل لونها. ما هي الاحتمالية أن تكون الكرتين من نفس اللون؟

لنقم أولاً بتحديد جميع الحالات الممكنة لاختيار كرتين من الكيس. يمكننا أن نحصل على كرتين خضراوين أو كرتين حمراوين أو كرة خضراء وأخرى حمراء.

لنقم بحساب الاحتمالية لكل حالة:

1. احتمالية اختيار كرتين خضراوين:
   الاحتمالية لاختيار كرة خضراء في المرة الأولى = عدد الكرات الخضراء ÷ إجمالي عدد الكرات = 6/10
   الاحتمالية لاختيار كرة خضراء في المرة الثانية = 6/10
   إذاً، الاحتمالية الإجمالية = (6/10) × (6/10) = 36/100

2. احتمالية اختيار كرتين حمراوين:
   الاحتمالية لاختيار كرة حمراء في المرة الأولى = عدد الكرات الحمراء ÷ إجمالي عدد الكرات = 4/10
   الاحتمالية لاختيار كرة حمراء في المرة الثانية = 4/10
   إذاً، الاحتمالية الإجمالية = (4/10) × (4/10) = 16/100

3. احتمالية اختيار كرة خضراء ثم حمراء:
   الاحتمالية لاختيار كرة خضراء في المرة الأولى = 6/10
   الاحتمالية لاختيار كرة حمراء في المرة الثانية = 4/10
   إذاً، الاحتمالية الإجمالية = (6/10) × (4/10) = 24/100

إذاً، الاحتمالية الإجمالية لاختيار كرتين من نفس اللون = (36/100) + (16/100) = 52/100 = 0.52

لذا، فإن احتمالية أن تكون الكرتين من نفس اللون هي 0.52 أو بنسبة 52%.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم الاحتمالية والقوانين المتعلقة بها. القوانين المستخدمة تشمل قانون الضرب وقانون الإحتمال المعاكس.

1. قانون الضرب (قاعدة الضرب):
   يستخدم لحساب احتمالية حدوث سلسلة من الأحداث المستقلة. وفقًا لهذا القانون، إذا كانت هناك سلسلة من الأحداث متتالية، فإن احتمالية حدوثها مساوية لضرب احتمالية كل حدث على التوالي.

2. قانون الإحتمال المعاكس:
   يُستخدم لحساب احتمالية حدوث حدث ما عندما نعرف احتمالية حدث معاكس له. بمعنى آخر، إذا كان لدينا احتمالية حدوث حدث ما، يمكننا حساب احتمالية عدم حدوثه باستخدام قانون الإحتمال المعاكس.

الآن، لحل المسألة:

1. لدينا مجموعة من الكرات الخضراء والحمراء في الكيس، ونريد حساب احتمالية أن تكون الكرتين المسحوبتين من نفس اللون.
2. أولاً، نحتاج إلى حساب احتمالية سحب كرتين من نفس اللون.
3. نحسب احتمالية سحب كرتين خضراوين واحتمالية سحب كرتين حمراوين.
4. ثم نجمع الاحتماليات للحصول على الإجمالي.

لحساب الاحتماليات:

• عدد الكرات الخضراء = 6
• عدد الكرات الحمراء = 4
• إجمالي عدد الكرات = 6 + 4 = 10

الآن، نبدأ بحساب الاحتماليات:

1. احتمالية سحب كرتين خضراوين:

   • الاحتمالية لاختيار كرة خضراء في المرة الأولى = 6/10
   • الاحتمالية لاختيار كرة خضراء في المرة الثانية = 6/10
   • بموجب قانون الضرب: (6/10) × (6/10) = 36/100

2. احتمالية سحب كرتين حمراوين:

   • الاحتمالية لاختيار كرة حمراء في المرة الأولى = 4/10
   • الاحتمالية لاختيار كرة حمراء في المرة الثانية = 4/10
   • بموجب قانون الضرب: (4/10) × (4/10) = 16/100

3. الآن، لاحتمالية سحب كرة خضراء ثم حمراء (أو العكس):

   • الاحتمالية لاختيار كرة خضراء في المرة الأولى = 6/10
   • الاحتمالية لاختيار كرة حمراء في المرة الثانية = 4/10
   • بموجب قانون الضرب: (6/10) × (4/10) = 24/100

4. الآن، نجمع الاحتماليات للحصول على الإجمالي:

   • (36/100) + (16/100) = 52/100 = 0.52

إذاً، الاحتمالية أن تكون الكرتين من نفس اللون هي 0.52 أو بنسبة 52%.