احتمالية تشكيل مربع بمساحة كبيرة (مسألة رياضيات)

تم قطع سلك بطول 9 أمتار إلى قسمين. إذا استخدم القسم الأطول لتشكيل محيط مربع، ما هي الاحتمالية أن يكون مساحة هذا المربع أكبر من 4 إذا تم قطع السلك الأصلي في نقطة عشوائية؟

حل المسألة:
لنقم بتحديد موقع القطع على السلك بطول 9 أمتار بشكل عشوائي، ولنكن x هو الطول الذي يتم قطعه للقسم الأول. بالتالي، طول القسم الثاني سيكون (9 – x) أمتار.

إذا كان القسم الأطول هو الضلع الذي يستخدم لتشكيل المربع، فإن محيط المربع يكون مساوياً لأربع مرات طول الضلع. لذا، طول ضلع المربع سيكون $\frac{{9 – x}}{4}$ متر.

المساحة A للمربع تحسب بالتالي:
$A = (\text{طول الضلع})^2 = \left(\frac{{9 – x}}{4}\right)^2$

لنحسب الاحتمالية أن تكون المساحة أكبر من 4، يجب أن تكون قيمة $A$ أكبر من 4. لنقم بحساب ذلك:

$\left(\frac{{9 – x}}{4}\right)^2 > 4$

بعد حل هذه المعادلة، سيكون لدينا نطاق لقيمة $x$ التي تحقق هذا الشرط. ثم يمكننا حساب الاحتمالية بتقسيم عدد القيم في هذا النطاق على النطاق الكلي لـ $x$ (من 0 إلى 9).

سأقوم الآن بحساب هذه المعادلة وتقديم الحل بشكل كامل.

لنقم بحساب قيم $x$ التي تحقق الشرط:

$\left(\frac{{9 – x}}{4}\right)^2 > 4$

نقوم بأخذ الجذر التربيعي للطرفين:

$\frac{{9 – x}}{4} > 2$

ثم نضرب في 4:

$9 – x > 8$

نطرح 9 من الطرفين:

$-x > -1$

نضرب في -1 مع تغيير اتجاه العلامة:

$x < 1$

إذاً، قيم $x$ التي تحقق الشرط هي عبارة عن جميع الأعداد الحقيقية التي تكون أقل من 1.

الآن، لنحسب الاحتمالية. النطاق الكلي لـ $x$ هو من 0 إلى 9. إذاً، الاحتمالية $P$ تحسب بالنسبة للقيم التي تحقق الشرط:

P = \frac{{\text{النطاق حينما }} x < 1}}{{\text{النطاق الكلي}}} = \frac{1}{9}

إذاً، الاحتمالية أن تكون مساحة المربع أكبر من 4 عندما يتم قطع السلك في نقطة عشوائية هي $\frac{1}{9}$.

لنقم بحساب الاحتمالية في تلك المسألة، سنتبع الخطوات التالية:

1. تحديد موقع القطع (x): نفترض أن السلك بطول 9 أمتار يتم قطع عند موقع عشوائي، ولنعتبر $x$ هو الطول الذي يتم قطعه للقسم الأول. بالتالي، القسم الثاني سيكون بطول $9 – x$ أمتار.

2. حساب طول ضلع المربع (l): إذا كان القسم الأطول يستخدم لتشكيل مربع، فإن محيط المربع يكون مساويًا لأربع مرات طول الضلع. لذا، طول ضلع المربع ($l$) سيكون:

   $l = \frac{9 – x}{4}$

3. حساب مساحة المربع (A): مساحة المربع تحسب برفع طول الضلع إلى السلطة الثانية:

   $A = l^2 = \left(\frac{9 – x}{4}\right)^2$

4. تحديد الشرط للمساحة الكبيرة من 4: نقوم بحساب القيمة التي تجعل المساحة أكبر من 4:

   $\left(\frac{9 – x}{4}\right)^2 > 4$

   حل هذه المعادلة يأتي بنتيجة $x < 1$.

5. حساب الاحتمالية (P): النطاق الكلي لـ $x$ هو من 0 إلى 9، والنطاق الذي يحقق الشرط هو $x < 1$. إذاً، الاحتمالية تحسب بالنسبة للقيم التي تحقق الشرط:

   $P = \frac{{\text{نطاق } x < 1}}{{\text{نطاق كلي}}} = \frac{1}{9}$

القوانين المستخدمة:

• قانون الأطوال في المربع: يتم استخدام قانون يحدد طول ضلع المربع بناءً على القسم الأطول من السلك.

• قانون حساب مساحة المربع: يستخدم قانون حساب مساحة المربع لتحديد مساحة المربع بناءً على طول ضلعه.

• قانون الاحتمالية: يتم استخدام قوانين الاحتمالية لتقدير الاحتمالية بناءً على القيم التي تحقق الشرط المطلوب (في هذه الحالة، أن تكون مساحة المربع أكبر من 4).