احتمالية تشغيل مصابيح لافا عشوائيا (مسألة رياضيات)

لدي رايان 3 مصابيح لافا حمراء و 3 مصابيح لافا زرقاء. يقوم بترتيبها في صف على رف بشكل عشوائي، ثم يقوم بتشغيل مصابيح عدد X منها بشكل عشوائي أيضًا. الهدف هو معرفة احتمالية أن تكون المصباح الأيسر زرقاء ومطفأة، وأن يكون المصباح الأيمن أحمر ومشتعل. نريد معرفة قيمة المتغير X المجهول.

لنقم بحساب عدد الطرق الممكنة لتحقيق الشروط المطلوبة:

1. المصباح الأيسر يكون زرقاء ومطفأة: هناك فقط 1 مصباح أزرق واحد من بين 3 مصابيح زرقاء، وهناك فقط 1 حالة تلبي هذا الشرط.

2. المصباح الأيمن يكون أحمر ومشتعل: هناك فقط 1 مصباح أحمر واحد من بين 3 مصابيح حمراء، وهناك فقط 1 حالة تلبي هذا الشرط.

الآن، نحتاج إلى حساب عدد الطرق الممكنة لتحقيق الشروط المطلوبة للحالة الإجمالية.

1. عدد الطرق لوضع المصابيح في الصف: يوجد 6 مصابيح مجموعًا، ويمكن ترتيبها في صف بـ 6! طريقة.

2. عدد الطرق لتشغيل المصابيح: من المصابيح الستة، يمكن تشغيل أي عدد منها، وهذا يعني أن هناك 2^6 طريقة لتشغيلها.

الآن، لحساب احتمالية الحالة المطلوبة، نقسم عدد الطرق التي تلبي الشروط المطلوبة على إجمالي عدد الطرق الممكنة.

عدد الطرق للحالة المطلوبة: 1 (للمصباح الأيسر) * 1 (للمصباح الأيمن) * 2^6 (لتشغيل المصابيح)
إجمالي عدد الطرق الممكنة: 6! * 2^6

بالتالي، احتمالية الحالة المطلوبة هي:
$\frac{1 * 1 * 2^6}{6! * 2^6}$

الآن، يمكن إلغاء 2^6 من البسط والمقام:

$\frac{1 * 1}{6!}$

الآن، لحساب قيمة 6! (6 عاملي)، يمكننا كتابتها على النحو التالي:
$6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720$

إذاً،
$\frac{1}{720}$
هي الاحتمالية.

بالتالي، قيمة المتغير X المجهول هي 6، لأنه يجب أن يكون على الأقل 6 مصابيح مشتعلة.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتطبيق مفهوم الاحتمالية وقوانين الاحتمالات. نحن هنا نبحث عن الاحتمالية لحدوث حالة معينة في ظل ظروف محددة.

القوانين المستخدمة في الحل هي:

1. قانون الضرب: يستخدم لحساب الاحتمالية لحدوث سلسلة من الأحداث متعددة. إذا كانت الأحداث مستقلة، يمكننا حساب احتمالية حدوثها عن طريق ضرب احتماليات الأحداث الفردية.

2. قانون الجمع: يستخدم لحساب الاحتمالية لحدوث إحدى عدة أحداث متعددة وغير متقاطعة. يتم ذلك عن طريق جمع احتماليات الأحداث الفردية.

الآن، دعونا نحسب الاحتمالية المطلوبة:

للحصول على المصباح الأيسر زرقاء ومطفأة، هناك 3 مصابيح زرقاء، لكننا نحتاج فقط إلى واحدة منها وهي مطفأة، لذا الاحتمالية هي 1/3.

للحصول على المصباح الأيمن أحمر ومشتعل، هناك 3 مصابيح حمراء، ونحتاج فقط إلى واحدة منها وهي مشتعلة، لذا الاحتمالية هي 1/3.

تشغيل المصابيح الباقية بشكل عشوائي، يعني أن هناك 4 مصابيح (3 حمراء و 3 زرقاء) يمكن تشغيلها بأي طريقة من 2^4 طريقة.

الآن، نستخدم قانون الضرب:
$\text{احتمالية الحالة المطلوبة} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times 2^4 = \frac{1}{9} \times 16 = \frac{16}{9}$

وهذا الناتج لا يمثل احتمالية صحيحة لأن الاحتمالية لا يمكن أن تكون أكبر من 1. لذا، هناك خطأ في الحساب.

الخطأ يحدث لأننا نعامل المصابيح كمصابيح متميزة بغض النظر عن ألوانها. في الواقع، إذا كنا نتابع الألوان، فإننا نعلم أن هناك 3 مصابيح حمراء و 3 زرقاء، ونحتاج فقط لاختيار واحدة من كل لون.

لذا، الاحتمالية الصحيحة تكون:
$\text{احتمالية الحالة المطلوبة} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \binom{4}{X}$
حيث $\binom{4}{X}$ هو عدد الطرق لتشغيل X مصباح من بين 4 مصابيح متبقية.

لحساب الاحتمالية بشكل دقيق، نحتاج إلى تحديد قيمة X. يمكننا فعل ذلك عن طريق محاولة القيم المختلفة لـ X واختيار القيمة التي تعطي احتمالية حقيقية وليست أكبر من 1.

بمجرد حساب الاحتمالية بشكل صحيح، يمكننا حساب قيمة X التي تلبي الشروط المطلوبة.